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4.3.3 Géométries simples


Aimantation verticale

Le potentiel magnétique de certaines géométries simples est donné dans la section sur la relation de Poisson. Dans cette section on donne l’anomalie du champ total causée par des corps qui baignent dans un champ magnétique externe vertical. Ces relations peuvent donc seulement être utilisées pour interpréter des anomalies magnétiques après les avoir soumises à une opération de réduction au pôle.


Sphère

L’anomalie magnétique d’une sphère de rayon $a$ et d’aimantation $M$ verticale (Figure 1) est :

\[\Delta T = \left(\frac{a^3}{3}\right) \chi_m F \left[ \frac{2z'^2 - x'^2}{(z'^2 + x'^2)^{5/2}} \right] ,\]

avec

\[\begin{align*} x' &= x_0 - x\\ z' &= z_0 - z\\ \end{align*}\]

où $\chi_m$ est la susceptibilité magnétique de la sphère et $F$ est l’intensité du champ magnétique primaire.

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Figure 1. Schéma montrant l’anomalie magnétique (A) d’une sphère de rayon $a=30$ située à ($x_0, z_0) = (0, -50)$ et faisant un contraste de susceptibilité magnétique $\chi_m = 10^{-3}$ SI avec son milieu encaissant (B). Le champ primaire est vertical vers le bas et son intensité est 55 000 nT.


Cylindre horizontal

L’anomalie magnétique d’un cylindre horizontal infini de rayon $R$ et d’aimantation verticale (Figure 2) est :

\[\Delta T = \left(\frac{R^2}{2}\right) \chi_m F \left[ \frac{z'^2 - x'^2}{(z'^2 + x'^2)^{2}} \right] ,\]

avec

\[\begin{align*} x' &= x_0 - x\\ z' &= z_0 - z\\ \end{align*}\]

où $\chi_m$ est la susceptibilité magnétique de la sphère et $F$ est l’intensité du champ magnétique primaire.

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Figure 2. Schéma montrant l’anomalie magnétique (A) d’un cylindre de rayon $R=30$ m située à ($x_0, z_0) = (0, -50)$ m et faisant un contraste de susceptibilité magnétique $\chi_m = 10^{-3}$ SI avec son milieu encaissant (B). Le champ primaire est vertical vers le bas et son intensité est 55 000 nT.

Notez les épaulements négatifs de l’anomalie de part et d’autre du maximum qui sont plus prononcés que ceux de la sphère.


Prisme rectangulaire

L’anomalie magnétique d’un prisme rectangulaire d’aimantation verticale (Figure 3) est :

\[\Delta T = \frac{t}{2\pi} \chi_m F \left[(\theta_1 - \theta_2) - (\theta_3 - \theta_4)\right] ,\]

avec

\[\begin{align*} \theta_1 & = \arctan{\left(\frac{x'_1}{z'_1}\right)}\\ \theta_2 & = \arctan{\left(\frac{x'_2}{z'_1}\right)}\\ \theta_3 & = \arctan{\left(\frac{x'_1}{z'_2}\right)}\\ \theta_4 & = \arctan{\left(\frac{x'_2}{z'_2}\right)} \end{align*}\]

et où $x_{i}’ = x - x_{i}$ et $z_{i}’ = z - z_{i}$ représentent respectivement les distances horizontales et verticales entre le gravimètre et les côtés du prisme. $\chi_m$ est la susceptibilité magnétique de la sphère et $F$ est l’intensité du champ magnétique primaire. La variable $t$ représente l’épaisseur du prisme ($t = \vert z_2 - z_1 \vert$). Le prisme est considéré comme infini dans la direction $\boldsymbol{\hat{y}}$.

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Figure 3. Schéma montrant l’anomalie magnétique (A) d’un prisme rectangulaire faisant un contraste de susceptibilité magnétique $\chi_m = 10^{-3}$ SI avec son milieu encaissant (B). Le champ primaire est vertical vers le bas et son intensité est 55 000 nT.

Sensibilité à la largeur du prisme

L’augmentation de la largeur du prisme se traduit par un évasement de l’anomalie. Pour des largeurs importantes, un creux apparait entre les côtés $x_1$ et $x_2$ du prisme, tel que montré à la Figure 4.

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Figure 4. Schéma montrant la sensibilité de l’anomalie magnétique (A) à la largeur d’un prisme rectangulaire faisant un contraste de susceptibilité magnétique $\chi_m = 10^{-3}$ SI avec son milieu encaissant (B). Le champ primaire est vertical vers le bas et son intensité est 55 000 nT.

Notez qu’un petit prisme crée une anomalie semblable à celle d’une sphère (ou d’un dipôle), alors que plus la largeur du prisme augmente, plus l’effet des bordures est apparente.


Références

  • Lowrie, W. (2007). Fundamentals of Geophysics. Cambridge : Cambridge University Press.

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© 2020-2021 Charles L. Bérubé
Polytechnique Montréal

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