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Calcul vectoriel


Cette page sert d’aide-mémoire pour les opérations vectorielles et la notation utilisée dans les notes de cours. Pour copier le code $\LaTeX{}$ d’une équation, faites un clic droit sur l’équation et sélectionnez Show Math As > TeX Command.


Notation vectorielle

Soit un vecteur $\boldsymbol{A}$ décrit par ses $n$ composantes, tel que $\boldsymbol{A} = (A_1, A_2, \dots, A_n)$. La norme de $\boldsymbol{A}$ est dénotée $\vert \boldsymbol{A} \vert$ et correspond à :

\[\vert \boldsymbol{A} \vert = \sqrt{A_1^2 + A_2^2 + \dots + A_n^2}.\]

Vecteurs unitaires

Le vecteur unitaire $\boldsymbol{\hat{A}}$ est un vecteur dont la direction est la même que $\boldsymbol{A}$ et dont la norme est égale à 1 :

\[\boldsymbol{\hat{A}} = \frac{\boldsymbol{A}}{\vert \boldsymbol{A} \vert}.\]

Les composantes de $\boldsymbol{\hat{A}}$ sont $\boldsymbol{A} = (\hat{A}_1, \hat{A}_2, \dots, \hat{A}_n)$. On appelle ces composantes les cosinus directeurs du vecteur unitaire $\boldsymbol{\hat{A}}$.

Propriétés de base

L’addition vectorielle est commutative,

\[\boldsymbol{A} + \boldsymbol{B} = \boldsymbol{B} + \boldsymbol{A} ,\]

associative,

\[(\boldsymbol{A} + \boldsymbol{B}) + \boldsymbol{C} = \boldsymbol{A} + (\boldsymbol{B} + \boldsymbol{C}) ,\]

et distributive,

\[\psi(\boldsymbol{A} + \boldsymbol{B}) = \psi\boldsymbol{B} + \psi\boldsymbol{A} ,\]

où $\psi$ est un scalaire.


Systèmes de coordonnées

Coordonnées cartésiennes

Les coordonnées cartésiennes correspondent aux axes orthogonaux $x$, $y$ et $z$ (Figure 1). Si $\boldsymbol{\hat{x}}$, $\boldsymbol{\hat{y}}$ et $\boldsymbol{\hat{z}}$ sont respectivement les vecteurs unitaires qui pointent vers les axes $x$, $y$ et $z$, alors on écrit le vecteur $\boldsymbol{A}$ comme :

\[\boldsymbol{A} = A_x\ \boldsymbol{\hat{x}} + A_y\ \boldsymbol{\hat{y}} + A_z\ \boldsymbol{\hat{z}} .\]

img

Figure 1. Système de coordonnées cartésiennes. Image du domaine public.

Dans un système de coordonnées cartésiennes un élément de volume correspond à :

\[dV=dx\ dy\ dz .\]

Les éléments de surface infinitésimaux sont :

\[\begin{align} dS_x &= dy\ dz \\ dS_y &= dx\ dz \\ dS_z &= dx\ dy \\ \end{align}\]

L’élément de chemin $d\boldsymbol{l}$ est :

\[d\boldsymbol{l} = dx\ \boldsymbol{\hat{x}} + dy\ \boldsymbol{\hat{y}} + dz\ \boldsymbol{\hat{z}} .\]

Coordonnées cylindriques

En coordonnées cylindriques le vecteur $\boldsymbol{A}$ s’écrit :

\[\boldsymbol{A} = A_r\ \boldsymbol{\hat{r}} + A_\theta\ \boldsymbol{\hat{\theta}} + A_z\ \boldsymbol{\hat{z}},\]

où les vecteurs unitaires orthogonaux $\hat{r}$, $\hat{\theta}$ et $\hat{z}$ sont montrés à la Figure 2.

img

Figure 2. Système de coordonnées cylindriques. Image du domaine public.

L’élément de volume d’un cylindre correspond à :

\[dV = r\ dr\ d\theta\ dz .\]

Les éléments de surface infinitésimaux sont :

\[\begin{align} dS_r &= r\ d\theta\ dz \\ dS_{\theta} &= dr\ dz \\ dS_z &= r\ dr\ d\theta \end{align}\]

L’élément de chemin $d\boldsymbol{l}$ est :

\[d\boldsymbol{l} = dr\ \boldsymbol{\hat{r}} + r\ d\theta\ \boldsymbol{\hat{\theta}} + dz\ \boldsymbol{\hat{z}} .\]

Coordonnées sphériques

En coordonnées cylindriques le vecteur $\boldsymbol{A}$ s’écrit :

\[\boldsymbol{A} = A_r\ \boldsymbol{\hat{r}} + A_\theta\ \boldsymbol{\hat{\theta}} + A_\phi\ \boldsymbol{\hat{\phi}},\]

où les vecteurs unitaires radial ($\boldsymbol{\hat{r}}$), de colatitude ($\boldsymbol{\hat{\theta}}$) et de longitude ($\boldsymbol{\hat{\phi}}$) sont montrés à la Figure 3 (remplacez $\rho$ par $r$).

img

Figure 3. Système de coordonnées sphériques. Image du domaine public.

L’élément de volume d’une sphère correspond à :

\[dV = r^2 \sin\theta\ dr\ d\theta\ d\phi .\]

Les éléments de surface infinitésimaux sont :

\[\begin{align} dS_r &= r^2\sin\theta\ d\theta\ d\phi \\ dS_{\theta} &= r\sin\theta\ dr\ d\phi \\ dS_{\phi} &= r\ dr\ d\theta \end{align}\]

L’élément de chemin $d\boldsymbol{l}$ est :

\[d\boldsymbol{l} = dr\ \boldsymbol{\hat{r}} + r\ d\theta\ \boldsymbol{\hat{\theta}} + r\sin\theta\ d\phi\ \boldsymbol{\hat{\phi}} .\]

Produit scalaire

Si $\theta$ est l’angle entre les vecteurs $\boldsymbol{A}$ et $\boldsymbol{B}$ :

\[\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{B} = AB\cos\theta\]

Coordonnées cartésiennes

\[\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{B} = A_xB_x + A_yB_y + A_zB_z\]

Coordonnées cylindriques

\[\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{B} = A_rB_r + A_{\theta}B_{\theta} + A_zB_z\]

Coordonnées sphériques

\[\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{B} = A_rB_r + A_{\theta}B_{\theta} + A_{\phi}B_{\phi}\]

Produit vectoriel

Si $\theta$ est l’angle entre les vecteurs $\boldsymbol{A}$ et $\boldsymbol{B}$ :

\[\boldsymbol{A}\times\boldsymbol{B} = \vert \boldsymbol{A}\vert \vert \boldsymbol{B}\vert\sin\theta\]

Coordonnées cartésiennes

\[\boldsymbol{A}\times\boldsymbol{B} = \begin{vmatrix} \boldsymbol{\hat{x}} & \boldsymbol{\hat{y}} & \boldsymbol{\hat{z}} \\ A_x & A_y & A_z \\ B_x & B_y & B_z \end{vmatrix}\]

Coordonnées cylindriques

\[\boldsymbol{A}\times\boldsymbol{B} = \begin{vmatrix} \boldsymbol{\hat{r}} & \boldsymbol{\hat{\theta}} & \boldsymbol{\hat{z}} \\ A_r & A_{\theta} & A_z \\ B_r & B_{\theta} & B_z \end{vmatrix}\]

Coordonnées sphériques

\[\boldsymbol{A}\times\boldsymbol{B} = \begin{vmatrix} \boldsymbol{\hat{r}} & \boldsymbol{\hat{\theta}} & \boldsymbol{\hat{\phi}} \\ A_r & A_{\theta} & A_{\phi} \\ B_r & B_{\theta} & B_{\phi} \end{vmatrix}\]

Gradient d’un scalaire

Coordonnées cartésiennes

\[\nabla \psi = \frac{\partial \psi}{\partial x}\ \boldsymbol{\hat{x}} + \frac{\partial \psi}{\partial y}\ \boldsymbol{\hat{y}} + \frac{\partial \psi}{\partial z}\ \boldsymbol{\hat{z}}\]

Coordonnées cylindriques

\[\nabla \psi = \frac{\partial \psi}{\partial r}\ \boldsymbol{\hat{r}} + \frac{1}{r}\frac{\partial \psi}{\partial \theta}\ \boldsymbol{\hat{\theta}} + \frac{\partial \psi}{\partial z}\ \boldsymbol{\hat{z}}\]

Coordonnées sphériques

\[\nabla \psi = \frac{\partial \psi}{\partial x}\ \boldsymbol{\hat{x}} + \frac{1}{r}\frac{\partial \psi}{\partial \theta}\ \boldsymbol{\hat{\theta}} + \frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial \psi}{\partial \phi}\ \boldsymbol{\hat{\phi}}\]

Divergence d’un vecteur

Coordonnées cartésiennes

\[\nabla \cdot \boldsymbol{A} = \frac{\partial A_x}{\partial x} + \frac{\partial A_y}{\partial y} + \frac{\partial A_z}{\partial z}\]

Coordonnées cylindriques

\[\nabla \cdot \boldsymbol{A} = \frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}(rA_r) + \frac{1}{r}\frac{\partial A_{\theta}}{\partial \theta} + \frac{\partial A_z}{\partial z}\]

Coordonnées sphériques

\[\nabla \cdot \boldsymbol{A} = \frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}(r^2A_r) + \frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial}{\partial \theta}(\sin\theta A_{\theta}) + \frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial A_{\phi}}{\partial {\phi}}\]

Rotationnel d’un vecteur

Coordonnées cartésiennes

\[\nabla \times \boldsymbol{A} = \begin{vmatrix} \boldsymbol{\hat{x}} & \boldsymbol{\hat{y}} & \boldsymbol{\hat{z}} \\ \frac{\partial}{\partial{x}} & \frac{\partial}{\partial{y}} & \frac{\partial}{\partial{z}} \\ A_x & A_y & A_z \end{vmatrix}\]

Coordonnées cylindriques

\[\nabla \times \boldsymbol{A} = \begin{vmatrix} \frac{\boldsymbol{\hat{r}}}{r} & \boldsymbol{\hat{\theta}} & \frac{\boldsymbol{\hat{z}}}{r} \\ \frac{\partial}{\partial{r}} & \frac{\partial}{\partial{\theta}} & \frac{\partial}{\partial{z}} \\ A_r & rA_{\theta} & A_z \end{vmatrix}\]

Coordonnées sphériques

\[\nabla \times \boldsymbol{A} = \begin{vmatrix} \frac{\boldsymbol{\hat{r}}}{r^2\sin{\theta}} & \frac{\boldsymbol{\hat{\theta}}}{r\sin{\theta}} & \frac{\boldsymbol{\hat{\phi}}}{r} \\ \frac{\partial}{\partial{r}} & \frac{\partial}{\partial{\theta}} & \frac{\partial}{\partial{z}} \\ A_r & rA_{\theta} & r\sin\theta A_{\phi} \end{vmatrix}\]

Laplacien d’un scalaire

Coordonnées cartésiennes

\[\nabla ^2\psi = \frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \psi}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 \psi}{\partial z^2}\]

Coordonnées cylindriques

\[\nabla ^2\psi = {1 \over r}{\partial \over \partial r}\left(r {\partial \psi \over \partial r}\right) + {1 \over r^2}{\partial^2 \psi \over \partial \theta^2} + {\partial^2 \psi \over \partial z^2}\]

Coordonnées sphériques

\[\nabla ^2\psi = {\frac{1}{r^2}\frac{\partial }{\partial r}\left( {r^2\frac{\partial \psi }{\partial r}} \right)} + \frac{1}{r^2\sin \theta }\frac{\partial }{\partial \theta }\left( {\sin \theta \frac{\partial \psi }{\partial \theta }} \right) + \frac{1}{r^2\sin ^2\theta }\frac{\partial ^2\psi }{\partial \phi ^2}\]

Identités vectorielles

Identités algébriques

\[(\boldsymbol{A} + \boldsymbol{B}) \cdot \boldsymbol{C} = \boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{C} + \boldsymbol{B}\cdot\boldsymbol{C}\] \[(\boldsymbol{A} + \boldsymbol{B}) \times \boldsymbol{C} = \boldsymbol{A}\times\boldsymbol{C} + \boldsymbol{B}\times\boldsymbol{C}\] \[\boldsymbol{A} \times (\boldsymbol{B} \times \boldsymbol{C}) = (\boldsymbol{A} \cdot \boldsymbol{C})\boldsymbol{B} - (\boldsymbol{A} \cdot \boldsymbol{B})\boldsymbol{C}\] \[\boldsymbol{A} \cdot (\boldsymbol{B} \times \boldsymbol{C}) = \boldsymbol{B} \cdot (\boldsymbol{C} \times \boldsymbol{A}) = \boldsymbol{C} \cdot (\boldsymbol{A} \times \boldsymbol{B})\]

Gradient

\[\nabla(\psi+\phi)=\nabla\psi+\nabla\phi\] \[\nabla(\psi \phi) = \phi\nabla \psi + \psi \nabla \phi\] \[\nabla(\boldsymbol{A} \cdot \boldsymbol{B}) = (\boldsymbol{A} \cdot \nabla)\boldsymbol{B} + (\boldsymbol{B} \cdot \nabla)\boldsymbol{A} + \boldsymbol{A} \times (\nabla \times \boldsymbol{B}) + \boldsymbol{B} \times (\nabla \times \boldsymbol{A})\]

Divergence

\[\nabla\cdot(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B})= \nabla\cdot\boldsymbol{A}+\nabla\cdot\boldsymbol{B}\] \[\nabla\cdot\left(\psi\boldsymbol{A}\right)= \psi\nabla\cdot\boldsymbol{A}+\boldsymbol{A}\cdot\nabla \psi\] \[\nabla\cdot\left(\boldsymbol{A}\times\boldsymbol{B}\right)= (\nabla\times\boldsymbol{A})\cdot \boldsymbol{B}-(\nabla\times\boldsymbol{B})\cdot \boldsymbol{A}\]

Rotationnel

\[\nabla\times\left(\psi\nabla\phi\right)= \nabla \psi \times \nabla \phi\] \[\nabla\times(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B})=\nabla\times\boldsymbol{A}+\nabla\times\boldsymbol{B}\] \[\nabla\times\left(\psi\boldsymbol{A}\right)=\psi\,(\nabla\times\boldsymbol{A})+\nabla\psi\times\boldsymbol{A}\] \[\nabla\times\left(\boldsymbol{A}\times\boldsymbol{B}\right)= \boldsymbol{A}\left(\nabla\cdot\boldsymbol{B}\right)-\boldsymbol{B} \left( \nabla\cdot\boldsymbol{A}\right)+\left(\boldsymbol{B}\cdot\nabla\right)\boldsymbol{A}- \left(\boldsymbol{A}\cdot\nabla\right)\boldsymbol{B}\]

Dérivées d’ordre 2

\[\nabla \times (\nabla\psi) = \boldsymbol{0}\] \[\nabla \cdot (\nabla \times \boldsymbol{A}) = 0\] \[\nabla \cdot (\nabla\psi) = \nabla^2\psi\] \[\nabla\left(\nabla \cdot \boldsymbol{A}\right) - \nabla \times \left(\nabla \times \boldsymbol{A}\right) = \nabla^2\boldsymbol{A}\]

Autres ressources

  • Cette page est inspirée de l’annexe A du livre de Blakely (1996).
  • Wikipedia en français est une excellente ressource pour les informations de ce genre.

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