2.4.2 Géométries simples (partie 2)
- La plaque mince verticale
- La plaque mince horizontale semi-infinie
- Le prisme rectangulaire
- Limites de la modélisation analytique
- Références
Dans cette 2e partie de la section sur l’interprétation gravimétrique avec des géométries simples on abordera les anomalies générées par des plaques minces verticales (p. ex. dykes), horizontales (p. ex. sills) et la formule générale pour un prisme rectangulaire.
Le développement de ces formules dépasse le cadre du cours. Il est néanmoins important de comprendre comment elles sont obtenues et de les garder à portée de main quand on doit interpréter des données gravimétriques.
La plaque mince verticale
Soit une plaque mince verticale d’épaisseur $t$ et de longueur $L$ telle que représentée à la Figure 1. Le centre du toit de la plaque est situé à $(x_0, z_0)$ et celle-ci est caractérisée par un contraste de densité $\Delta\rho$ avec son milieu encaissant.
Figure 1. Section verticale du modèle de la plaque mince verticale de longueur $L$.
L’équation de la composante verticale de l’anomalie gravimétrique $\Delta g_z$ de cette plaque est
\[\Delta g_z = 2G t \Delta\rho \ln \left[ \frac{(\Delta z + L)^2 + \Delta x^2}{\Delta x^2 + \Delta z^2} \right] ,\]où
- $\Delta x = x - x_0$
- $\Delta z = z - z_0$
représentent les distances entre le toit de la plaque et la position du gravimètre et $G$ est la constante gravitationnelle.
Anomalie maximale
Le maximum de l’anomalie est observé directement au-dessus du centre de la plaque mince verticale, soit à $x = x_0$ (donc $\Delta x = 0$). Dans ce cas :
\[\Delta g_\mathrm{max} = 2G t \Delta\rho \ln \left[ \frac{(\Delta z + L)^2}{\Delta z^2} \right] .\]Si $\Delta z \approx L$, alors le maximum de l’anomalie ne dépend ni de $z$, ni de $L$ :
\[\Delta g_\mathrm{max} = 2G t \Delta\rho \ln(4) .\]Largeur à mi-hauteur
Le cas spécial $\Delta z \approx L$ nous permet aussi de trouver une relation simple entre la largeur à mi-hauteur de l’anomalie et la profondeur au toit de la plaque. En effet on sait que $\Delta g_z (\Delta x=x_{1/2}) = \Delta g_\mathrm{max}/2$ et donc
\(\begin{align} 2G t \Delta\rho \ln \left[ \frac{4\Delta z^2 + x_{1/2}^2}{x_{1/2}^2 + \Delta z^2} \right] & = \frac{\Delta g_\mathrm{max}}{2} \\ & = G t \Delta\rho \ln(4), \end{align}\) qui se simplifie par
\[\ln \left[ \frac{4\Delta z^2 + x_{1/2}^2}{x_{1/2}^2 + \Delta z^2} \right] = \frac{\ln(4)}{2},\]et
\[\frac{4\Delta z^2 + x_{1/2}^2}{x_{1/2}^2 + \Delta z^2} = 2.\]On obtient finalement que la profondeur au toit de la plaque peut être estimé avec la largeur à mi-hauteur de l’anomalie.
\[\Delta z = \sqrt{1/2}x_{1/2} .\]⚠️ Attention cette relation est valide seulement dans l’approximation $\Delta z \approx L$.
La plaque mince horizontale semi-infinie
Soit une plaque horizontale d’épaisseur $t$ et de prolongement infini dans une direction, tel qu’illustré à la Figure 2. Le centre du début de la plaque est situé aux coordonnées $(x_0, z_0)$.
Figure 2. Section verticale du modèle de la plaque mince horizontale semi-infinie.
La composante verticale de l’anomalie gravimétrique générée par la plaque horizontale semi-infinie est
\[\Delta g_z = 2Gt\Delta\rho \left[ \frac{\pi}{2} + \tan^{-1}\left(\frac{\Delta x}{\Delta z}\right) \right] ,\]où $\Delta x = x - x_0$ est la distance horizontale entre le gravimètre et le début de la plaque et $\Delta z = z - z_0$ est la distance verticale entre le gravimètre et le centre de la plaque (le plan médian).
Anomalie maximale
On note deux cas limites importants:
- Si $x \to -\infty$, alors $\Delta g_z \to 0$
- Si $x \to +\infty$, alors $\Delta g_z \to 2\pi Gt\Delta\rho$
Remarquez qu’on retrouve l’équation de la correction de Bouguer dans le deuxième cas. L’anomalie maximale est donc observée quand le gravimètre est complètement au-dessus de la plaque, loin vers la droite. À ce point la plaque pourrait être considérée comme infinie dans toutes les directions. L’anomalie maximale peut être utilisée pour estimer le produit épaisseur-densité ($t\Delta\rho$) de la plaque.
Pente de l’anomalie
L’anomalie gravitationnelle d’une plaque horizontale semi-infinie prend la forme montrée à la Figure 3.
Figure 3. Réponse gravimétrique d’un modèle de plaque mince horizontale semi-infinie.
Le point d’inflexion de l’anomalie coïncide avec la position $x = x_0$ (donc $\Delta x=0$) du début de la plaque. La pente de l’anomalie à ce point est
\[\begin{align} \frac{\partial g_z}{\partial \Delta x}\Big|_{\Delta x=0} & = 2\pi Gt\Delta\rho \left[ \frac{\Delta z}{\Delta z^2 + \Delta x^2} \right]_{\Delta x=0} \\ & = \frac{\Delta g_\mathrm{max}}{\pi \Delta z} \end{align}\]On peut donc trouver la profondeur de la plaque à partir du maximum de l’anomalie gravimétrique et de sa pente au point d’inflexion :
\[\Delta z = \frac{\Delta g_\mathrm{max}}{\pi\cdot\frac{\partial g_z}{\partial \Delta x}\Big|_{\Delta x=0}} .\]Plaque horizontale de longueur finie
Lorsque la plaque horizontale ne peut pas être considérée comme infinie et qu’elle est plutôt caractérisée par une longueur $L$ son anomalie gravimétrique s’écrit
\[\Delta g_z = 2Gt\Delta\rho \left[ \tan^{-1}\left(\frac{L - \Delta x}{\Delta z}\right) + \tan^{-1}\left(\frac{\Delta x}{\Delta z}\right) \right] .\]Vous démontrerez cette relation dans le devoir sur le principe de superposition.
Le prisme rectangulaire
Soit un prisme rectangulaire dont les paramètres géométriques sont montrés à la Figure 4. On fait l’hypothèse que le prisme s’étend vers l’infini dans la direction $y$ qui n’est pas représentée en 2D.
Figure 4. Section verticale du modèle du prisme rectangulaire.
La composante verticale de l’anomalie gravimétrique du prisme est
\[\Delta g_z = 2G\Delta\rho \left[ \Delta z_2\theta_2 - \Delta z_1\theta_1 + \Delta x_1\ln\left(\frac{r_1 r_4}{r_2 r_3}\right) + (\Delta x_2 - \Delta x_1) \ln\left(\frac{r_4}{r_3}\right) \right] ,\]avec les substitutions
- $r_1^2 = \Delta x_1^2 + \Delta z_1^2$
- $r_2^2 = \Delta x_1^2 + \Delta z_2^2$
- $r_3^2 = \Delta x_2^2 + \Delta z_1^2$
- $r_4^2 = \Delta x_2^2 + \Delta z_2^2$
- $\theta_1 = \arctan\left(\frac{\Delta z_1}{\Delta x_1}\right) - \arctan\left(\frac{\Delta z_1}{\Delta x_2}\right)$
- $\theta_2 = \arctan\left(\frac{\Delta z_2}{\Delta x_1}\right) - \arctan\left(\frac{\Delta z_2}{\Delta x_2}\right)$
et où $\Delta x_{i} = x - x_{i}$ et $\Delta z_{i} = z - z_{i}$ représentent respectivement les distances horizontales et verticales entre le gravimètre et les côtés du prisme.
Limites de la modélisation analytique
Vous avez sans doute remarqué que les équations analytiques servant à modéliser les réponses gravimétriques deviennent rapidement très complexes même pour des corps relativement simples. De plus, on s’est ici limité à des cas qu’on peut exprimer dans une géométrie 2D avec un prolongement infini dans la troisième dimension. Pour aller plus loin dans les concepts de modélisation géophysique, il est nécessaire d’introduire le concept de modélisation numérique.
La modélisation numérique se base sur le principe de superposition et permet aux géophysiciens de modéliser à peu près n’importe quelle géométrie responsable de contrastes de densité dans le sol, et ce même en 3D. Les outils mathématiques et numériques requis pour effectuer la modélisation 3D sont à la limite du cadre de ce cours de premier cycle, mais on fera tout de même un survol de ces notions dans les sections suivantes.
Références
- Telford, W. M., Geldart, L. P., & Sheriff, R. E. (1990). « Gravity Interpretation », dans Applied Geophysics. Cambridge : Cambridge University Press, p. 34-48.