4.4.2 Règles simples
Méthode de la pleine largeur à mi-hauteur
Cette méthode permet d’estimer la profondeur d’un corps magnétique enfoui en mesurant la pleine largeur à mi-hauteur (PLMH) de son anomalie. Il est important d’effectuer la réduction au pôle de l’anomalie magnétique avant d’utiliser cette méthode si l’inclinaison du champ magnétique primaire n’est pas verticale. La méthode de la PLMH est applicable lorsque le corps magnétique peut être paramétrisé comme une sphère (un dipôle unique) ou un cylindre horizontal (une ligne de dipôles). Pour des corps avec des grandes dimensions comme des dykes, des feuillets ou des prismes, il est préférable d’utiliser la méthode de Peters décrite dans la prochaine section.
Dans les exemples suivants, l’amplitude du champ magnétique primaire est 55 000 nT, son inclinaison est 90$^\circ$ et sa déclinaison est 0$^\circ$. Les paramètres du champ sont définis dans l’extrait de code suivant :
# Définition des paramètres du champ primaire
C_m = 1e-7 # constante
mu_0 = np.pi*4e-7 # perméabilité du vide
I = 90 # inclinaison en degrés
D = 0 # déclinaison en degrés
F = 55000 # amplitude en nT
On aura aussi besoin de la courte fonction suivante pour trouver les points les plus près d’une valeur sur une courbe donnée.
def find_nearest(array, value):
"""Retourne les indices d'un vecteur les plus près d'une valeur donnée."""
idx = np.argsort(np.abs(array - value))
return idx
Exemple 1 : Munition explosive non explosée
On peut paramétriser une munition explosive non explosée (UXO) comme une sphère de susceptibilité magnétique égale à 1 SI et de volume égal à 1 m$^3$. La réponse d’une sphère est la même que celle d’un dipôle placé en son centre. Pour cet exemple, on fixe la profondeur du dipôle à 4 m sous la surface du sol. Les paramètres du problème sont définis dans l’extrait de code suivant. La Figure 4 illustre l’anomalie de champ magnétique générée par cette UXO.
# Définir les coordonnées du profil sur l'axe des x
xs = np.arange(-10, 11, 0.001) # m
# Définir l'emplacement du dipole
# qui approxime une UXO de volume unitaire
x0 = np.zeros(1) # l'UXO est situé à x = 0
y0 = np.zeros(1) # l'UXO est situé à y = 0
z0 = 4*np.ones(1) # l'UXO est situé à une profondeur de 4 m
x0y0z0 = np.stack(np.meshgrid(x0, y0, z0), -1).reshape(-1, 3) # shape: (len(x0)*len(y0)*len(z0), 3)
# Définir les paramètres du corps et de son aimantation
chi = 1 # susceptibilité magn
v = 1 # volume
m = chi*F*v/mu_0 # moment dipolaire
m_chapeau = calculer_direction_m(I, D) # \hat{m}
La fonction calculer_direction_m() est documentée sur la page des fonctions utiles.
ts = np.zeros(len(xs)) # pour accueillir les résultats
for i, x_i in enumerate(xs): # boucle sur les stations du profil
for (x, y, z) in x0y0z0:
J = calculer_J(x_i-x, y, z) # la matrice hessienne du champ dipolaire
dF = C_m * np.dot(m * m_chapeau, J) # m*J
dT = np.dot(dF, m_chapeau) # projection sur F
ts[i] += dT # principe de superposition
La fonction calculer_J() et sa documentation sont disponibles sur la page des fonctions utiles. Ici, nous avons modélisé l’UXO comme une source ponctuelle (dipôle). La profondeur du dipôle peut être approximée par la PLMH ($2x_{1/2}$) de l’anomalie magnétique, comme montré à la Figure 1. L’extrait de code suivant montre comment estimer la PLMH d’une anomalie magnétique.
idx1 = find_nearest(ts, ts.max()/2)[0]
idx2 = find_nearest(ts, ts.max()/2)[1]
d = abs(xs[idx1] - xs[idx2])
# Création de la figure
fig, ax = plt.subplots(figsize=(8, 4))
ax.plot(xs, ts, lw=2, label="Anomalie de l'UXO")
ax.plot(xs[idx1], ts[idx1], 'ko', label="$2x_{1/2}="+f"{d:.1f}$ m")
ax.plot(xs[idx2], ts[idx2], 'ko')
ax.text(0, ts[idx1]+5, '$2x_{1/2}$', ha='center')
ax.annotate('', (xs[idx1], ts[idx1]), (xs[idx2], ts[idx2]), arrowprops=dict(arrowstyle="<->"))
ax.legend(loc=0)
ax.set_xlim([xs.min(), xs.max()])
ax.set_ylabel(r'$\Delta T$ (nT)')
ax.set_xlabel(r'$x$ (m)')
ax.set_ylim([-10, 180])
plt.show()
Figure 1. Estimation de la profondeur d’une UXO en mesurant la PLMH de son anomalie magnétique.
On trouve une valeur de $2x_{1/2} = 4$ m, ce qui correspond effectivement à la profondeur de 4 m fixée pour la UXO dans cet exemple.
Exemple 2 : Conduite en acier inoxydable
L’acier inoxydable traité à froid devient magnétique. On peut paramétriser une conduite en acier comme un cylindre horizontal de susceptibilité magnétique égale à 1 SI. Une stratégie valide pour modéliser la réponse magnétique de ce cylindre est de le discrétiser en un nombre fini de sections circulaires dont les réponses individuelles sont celles d’un dipôle. Pour cet exemple, chaque section circulaire aura un volume égal à 1 m$^3$. On fixe la profondeur de la conduite à 8 m sous la surface du sol. Les paramètres du problème sont définis dans l’extrait de code suivant. La Figure 2 illustre l’anomalie de champ magnétique générée par la conduite.
# Définir les coordonnées du profil sur l'axe des x
xs = np.arange(-10, 10.01, 0.01) # m
# Définir l'emplacement du dipole
# qui approxime une UXO de volume unitaire
x0 = np.zeros(1) # la conduite est située à x = 0
y0 = np.arange(-100, 101, 1) # la conduite s'étend à l'infini en y (200 m de long)
z0 = 8*np.ones(1) # la conduite est situé à une profondeur de 8 m
x0y0z0 = np.stack(np.meshgrid(x0, y0, z0), -1).reshape(-1, 3) # shape: (len(x0)*len(y0)*len(z0), 3)
# Définir les paramètres du corps et de son aimantation
chi = 1 # susceptibilité magn
v = 1 # volume
m = chi*F*v/mu_0 # moment dipolaire
m_chapeau = calculer_direction_m(I, D) # \hat{m}
Ici, nous avons modélisé la conduite comme une ligne de sources ponctuelles (ligne de dipôles). La profondeur de la conduite peut être approximée par la PLMH de son anomalie magnétique, comme montré à la Figure 2.
Figure 2. Estimation de la profondeur d’une conduite en acier en mesurant la PLMH de son anomalie magnétique.
On trouve une valeur de $2x_{1/2}=7.8$ m, ce qui est une bonne approximation de la profondeur réelle de la conduite en acier qui était fixée à une valeur de 8 m dans la modélisation.
Références
- Reynolds, J. M. (2011). Geomagnetic Methods. Dans An introduction to applied and environmental geophysics (pp. 83-142). Hoboken NJ : Wiley-Blackwell.