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2.4.1 Géométries simples (partie 1)

On peut estimer la réponse gravimétrique produite par un contraste de densité dans le sol à l’aide d’équations analytiques lorsque la géométrie du problème est relativement simple. Cette section couvre les équations qui décrivent l’accélération gravitationnelle en présence de corps dont la symétrie contribue à simplifier les réponses, comme des sphères, des cylindres et des prismes rectangulaires.


La sphère

Soit une sphère de rayon $a$. Le centre de la sphère se trouve à la position $(x_0, z_0)$ tel que montré à la Figure 1. La sphère est caractérisée par un contraste de densité $\Delta\rho$ avec son milieu encaissant.

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Figure 1. Section verticale montrant un modèle de sphère faisant un contraste de densité $\Delta\rho$ avec le sol.

La loi universelle de l’attraction et le théorème de Gauss nous permettent d’écrire l’équation de l’anomalie gravimétrique causée par cette sphère. En effet on sait que la composante radiale de l’attraction est

\[g_r = \frac{Gm}{r^2},\]

où $m = \frac{4}{3}\pi a^3 \Delta\rho$ et $G$ est la constante gravitationnelle.

On se souvient que le gravimètre ne mesure que la composante verticale de l’attraction et que :

\[g_z = g_r \cos \theta = g_r \frac{z - z_0}{r}\]

avec

\[r^2 = (x - x_0)^2 + (z - z_0)^2 .\]

Il est utile de définir les substitutions suivantes pour les distances entre le centre de la sphère et la position du gravimètre :

  • $x’ = x - x_0$
  • $z’ = z - z_0$

Si le contraste de densité est uniforme dans la sphère on trouve finalement que la composante verticale de l’anomalie gravitationnelle $\Delta g_z$ causée par la sphère est

\[\Delta g_z(x,z) = G \Delta\rho \left( \frac{4\pi a^3}{3} \right) \frac{z'}{(x'^2 +z'^2)^{3/2}} .\]

Cette équation est valide pour toutes les positions $(x, z)$ de mesures le long du profil gravimétrique.

Anomalie maximale

L’anomalie gravitationnelle maximale est observée directement au-dessus du centre de la sphère, soit à $x = x_0$ (donc $x’ = 0$). À cet endroit,

\[\Delta g_{max} = G \Delta\rho \left( \frac{4\pi a^3}{3} \right) \frac{1}{z'^2} .\]

Largeur à mi-hauteur

Soit $x_{1/2}$ la distance entre le centre de la sphère et la position où l’anomalie vaut la moitié de l’anomalie maximale. Le concept de largeur à mi-hauteur est montré à la Figure 2.

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Figure 2. Concept de largeur à mi-hauteur d’une anomalie gravimétrique.

La mi-hauteur est définie par $\Delta g_{max}/2$. D’après l’équation (5) on obtient

\[\begin{align} \Delta g_z (x_{1/2}) & = \frac{\Delta g_{max}}{2} \\ G \Delta\rho \left( \frac{4\pi a^3}{3} \right) \frac{z'}{(x_{1/2}^2 +z'^2)^{3/2}} & = G \Delta\rho \left( \frac{4\pi a^3}{3} \right) \frac{1}{2 z'^2} \\ \frac{z'^3}{(x_{1/2}^2 + z'^2)^{3/2}} & = \frac{1}{2}, \\ \end{align}\]

et finalement

\[z' \approx 1.306\ x_{1/2} .\]

La largeur à mi-hauteur de l’anomalie est donc directement proportionnelle à la distance verticale entre le gravimètre et le centre de la sphère.

Calcul de l’excès de masse

Supposons que la sphère correspond à l’enveloppe d’un gisement dont la densité est supérieure à son milieu encaissant (p. ex. Cu, Fe ou Ni). Il est possible de déterminer l’excès de masse associé au gisement (et donc estimer la teneur) à partir de sa réponse gravimétrie si on connait sa profondeur et son rayon. En effet si l’excès de masse $\Delta M$ est le produit de la densité et du volume de la sphère ($4\pi a^3 \Delta\rho /3 $), alors

\[\Delta M = \frac{\Delta g_{max} z^2}{G} .\]

Le cylindre horizontal

Soit un cylindre horizontal de rayon $R$ et de longueur $2L$. Le centre du cylindre se trouve à la position $(z_0, y_0, x_0)$, tel que montré à la Figure 3. Le cylindre est caractérisé par un contraste de densité $\Delta\rho$ avec son milieu encaissant. Notez que la longueur $L$ est définie dans l’axe $y$ qui n’est pas représenté en 2D.

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Figure 3. Section verticale montrant un modèle de cylindre horizontal faisant un contraste de densité $\Delta\rho$ avec le sol. L’axe du cylindre est dans la direction $y$.

L’anomalie gravimétrique $\Delta g_z$ de ce cylindre horizontal pour toutes les positions $(x, y, z)$ de mesures le long du profil gravimétrique est donnée par

\[\Delta g_z (x,y,z) = \frac{\pi G R^2 \Delta\rho}{z'(1 + (x'/z')^2)} \left[ \frac{1}{\left(1 + \frac{(x'^2 + z'^2)}{(y' + L)^2}\right)^{1/2} } + \frac{1}{\left(1 + \frac{(x'^2 + z'^2)}{(y' - L)^2}\right)^{1/2} }\right] ,\]

  • $x’ = x - x_0$
  • $z’ = z - z_0$
  • $y’ = y - y_0$

représentent les distances entre le centre du cylindre et la position du gravimètre.

⚠ Il s’agit de la forme générale de l’équation, il est toujours possible de la simplifier en repositionnant le système de coordonnées pour s’adapter au problème! Notez que si le profil est perpendiculaire au centre de l’axe du cylindre, alors $y’ = 0$ et l’équation ne dépend plus que de $x’$ et $z’$.

Cas du long cylindre

On peut procéder à quelques simplifications dans le cas où le cylindre serait très long dans la direction $y$. En effet, on dira en règle de pouce que si $(L \gt 10z)$, alors

\[\Delta g_z = \frac{2\pi G R^2 \Delta\rho} {z'(1 + (x'/z')^2)}.\]

Je vous encourage à faire la démonstration pour vous convaincre. On remarque que l’équation (13) ne dépend plus de $y$ ni de $L$, car le cylindre est considéré infiniment long dans cette direction par rapport à sa profondeur.

Anomalie maximale

L’anomalie gravimétrique maximale du cylindre horizontal infini est observable quand le gravimètre se trouve directement au-dessus du cylindre, soit à $x = x_0$ (donc $x’ = 0$). À cette position,

\[\Delta g_{max} = \frac{2\pi G R^2 \Delta\rho} {z'}.\]

Largeur à mi-hauteur

Soit $x_{1/2}$ la position à laquelle l’anomalie vaut la moitié de l’anomalie maximale. La mi-hauteur est définie par $\Delta g_{max}/2$. D’après les équations (13) et (14) on obtient

\[\begin{align} \Delta g_z (x_{1/2}) & = \frac{\Delta g_{max}}{2} \\ \frac{2\pi G R^2 \Delta\rho} {z'(1 + (x_{1/2}/z')^2)} & = \frac{\pi G R^2 \Delta\rho} {z'} \\ 2 & = 1 + (x_{1/2}/z')^2, \end{align}\]

et finalement

\[z' = x_{1/2} .\]

La largeur à mi-hauteur de l’anomalie est donc égale à la distance verticale entre le gravimètre et le centre du cylindre.


Le cylindre vertical semi-infini

Soit un cylindre vertical très long et de rayon $R$. Le toit du cylindre se trouve à la position $(z_0, x_0)$, tel que montré à la Figure 4.

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Figure 4. Section verticale montrant un modèle de cylindre vertical infiniment long faisant un contraste de densité $\Delta\rho$ avec le sol.

Le cylindre est caractérisé par un contraste de densité $\Delta\rho$ avec son milieu encaissant. L’anomalie maximale du cylindre est donnée par

\[\Delta g_{max} = 2\pi G\Delta\rho \left[ (z'^2 + R^2)^{1/2} - z' \right] ,\]

où $z’ = z - z_0$. Notez que cette équation ne dépend pas de $x’$. Il s’agit seulement de l’anomalie maximale, donc de la valeur mesurée à $x = x_0$.


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© 2020-2021 Charles L. Bérubé
Polytechnique Montréal

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