2.4.6 Modèles numériques 3D
Méthode géométrique
Il existe plusieurs façons de modéliser la réponse gravimétrique de corps quelconques en trois dimensions. Toutes les méthodes demandent de faire quelques approximations justifiées. Dans cette section nous verrons comment approximer la réponse gravimétrique avec une méthode géométrique intuitive.
⚠️ Les schémas utilisés dans cette section sont illustrés en 2D pour simplifier la représentation des concepts. Il faut comprendre que cette méthode s’applique autant en 2D qu’en 3D. Cependant, en 2D, il est plus rapide d’utiliser la méthode de l’intégrale de contour décrite dans la section précédente.
Soit un corps tridimensionnel quelconque de volume $V$ et de masse $M$ tel que montré à la Figure 1. La densité $\rho$ du corps est donc $M/V$. On s’intéresse à l’accélération gravitationnelle $\boldsymbol{g}$ au point $P$ à proximité de ce corps. On sait que l’accélération totale est inversement proportionnelle au carré de la distance entre $P$ et le centre de masse de $M$ et qu’elle pointe vers ce dernier. On veut maintenant estimer l’amplitude de $\boldsymbol{g}$ pour prédire la réponse gravimétrique qui serait mesurée à proximité de ce corps.
Figure 1. Schéma montrant l’accélération gravitationnelle au point $P$ à proximité d’un corps tridimensionnel de masse $M$.
On sait que la gravité mesurée au point $P$ est donnée par :
\[\Delta g = G \iiint \frac{\rho(r)}{r}\ dV,\]où $G$ est la constante gravitationnelle et $r^2 = x^2+y^2+z^2$ est la distance entre $P$ et chaque élément de masse qui compose le corps. On peut sortir $\rho$ de l’intégrale quand la densité du corps est uniformément distribuée. Pour les corps complexes, cette intégrale n’a pas de solution analytique et on doit la résoudre numériquement. Pour ce faire, on procède avec une discrétisation du milieu.
Discrétisation du milieu
La méthode géométrique consiste à discrétiser le milieu en $N$ cellules qui couvrent l’entièreté du corps tridimensionnel. Cette discrétisation a pour but de séparer le corps complexe en plusieurs composantes relativement simples, comme des prismes. On peut maintenant s’intéresser aux accélérations infinitésimales $d\boldsymbol{g_i}$ causées par les masses $dM_i$ contenues dans chacune des cellules $i$.
Figure 2. Schéma montrant la discrétisation du milieu en $N$ cellules avec des géométries simples. Chaque élément de masse $dM_i$ contenue dans une cellule contribue à l’accélération gravitationnelle ressentie au point $P$.
Le principe de superposition veut que la réponse totale du système ($\Delta \boldsymbol{g}$) soit égale à la somme des contributions individuelles de ses composantes ($\Delta \boldsymbol{g}_i$). On peut donc écrire l’équation (1) comme la sommation
\[\Delta \boldsymbol{g} = \sum_i^N \Delta \boldsymbol{g}_i .\]Pondération des contributions
Comme on peut le constater à la Figure 3, il existe trois types de cellules :
- Cellules complètement vides (blanches)
- Cellules complètement remplies (bleues)
- Cellules partiellement remplies (vertes)
Il faut donc tenir compte de la contribution de chaque cellule dans le système entier. En effet,
- pour les cellules vides, la contribution est nulle,
- pour les cellules pleines, la contribution est maximale,
- pour les cellules partiellement remplies, la contribution peut être approximée par la fraction de la cellule qui est occupée.
Figure 3. Schéma montrant la contribution de chaque cellule à l’accélération totale ressentie au point $P$. Les cellules remplies contribuent plus fortement à la réponse totale que les cellules vides.
Cette approximation est bonne pour des cellules suffisamment fines. On réécrit donc l’équation (2) avec
\[\boldsymbol{g} = - G \sum_i^N \frac{\rho_i V_i}{r^2_i}\ \hat{\boldsymbol{r}} ,\]où $V_i$ est la fraction volumique de l’intersection entre la distribution de masse $M$ et chaque cellule $i$ ($V_i = 1$ quand la cellule est complètement incluse dans la masse et $V_i = 0$ pour une cellule située à l’extérieur de la masse). En gravimétrie, si la densité du corps est uniforme et qu’on s’intéresse à l’accélération dans la direction verticale, l’amplitude de l’anomalie est
\[\Delta g_z = G \rho \sum_i^N \frac{V_i}{r^2_i} \sin\theta_i ,\]où $\theta_i$ est l’angle entre chaque élément de masse $\mathrm{d}M_i$ et l’horizontale.