2.1.4 Théorème de Gauss
Énoncé
Le flux du champ gravitationnel à travers une surface fermée $S$ formant un volume $V$ est proportionnel à la somme des masses incluses ($M_\mathrm{inc}$) dans le volume.
Forme intégrale
Sous sa forme intégrale le théorème de Gauss s’écrit
\[\begin{align} \iint_S \boldsymbol{g}\cdot \mathrm{d}\boldsymbol{S} & = -4\pi G M_\mathrm{inc} \\ & = -4\pi G \iiint_V \rho\,\mathrm{d}V, \end{align}\]où $G$ est la constante gravitationnelle.
Forme différentielle
D’après le théorème de la divergence,
\[\iint_S \boldsymbol{g}\cdot \mathrm{d}\boldsymbol{S} = \iiint_V \nabla\cdot\boldsymbol{g}\,\mathrm{d}V .\]L’équation (2) se réécrit donc comme
\[\iiint_V \nabla\cdot\boldsymbol{g}\,\mathrm{d}V = -4\pi G \iiint_V \rho\,\mathrm{d}V\]et on trouve que
\[\nabla\cdot\boldsymbol{g} = -4\pi G \rho .\]Équation de Poisson
Comme le champ gravitationnel peut s’écrire comme le gradient d’un potentiel $U$ :
\[-\nabla U = \boldsymbol{g},\]alors la forme différentielle du théorème de Gauss exprimée en termes de $U$ est
\[\nabla^2 U = 4\pi G \rho .\]L’équation (7) est l’équation de Poisson. Elle est valide à l’intérieur des distributions de masses (la Terre, par exemple). À l’extérieur du volume qui inclut les masses, $M_{inc} = 0$ et l’équation de Poisson est réduite à l’équation de Laplace.
Concept de flux
Le concept de flux est illustré à la Vidéo 1.
Vidéo 1. Animation montrant la relation entre le flux et l’angle entre une surface et un champ uniforme.
Exemple de la coquille vide
Soit une coquille vide très mince de rayon $a$ et dont la masse surfacique (exprimée en unités de masse / surface) est $\sigma$, tel que montré à la Figure 1.
Figure 1. Schéma de la sphère de Gauss de rayon $r$ autour d’une coquille de rayon $a$ et de densité surfacique $\sigma$.
Le cercle en trait continu est la coquille vide. On trace une sphère de Gauss (pointillé) de rayon $r$ autour de la coquille. Le vecteur unitaire $\hat{r}$ est normal à la sphère de Gauss. On demande de trouver l’accélération gravitationnelle à n’importe quelle distance $r$ du centre de la coquille. Une bonne stratégie est de diviser le problème en trois régions distinctes.
Intérieur de la coquille
Pour $r \lt a$, l’équation (1) se réduit à
\[\iint_S \boldsymbol{g}\cdot \mathrm{d}\boldsymbol{S} = 0,\]car il n’y a pas de masse incluse dans la sphère de Gauss.
De plus, on sait que $\boldsymbol{g}$ est toujours normal à la surface de la sphère, donc
\[g \iint_S\mathrm{d}{S} = 0\]et forcément $\boldsymbol{g} = 0$ partout dans la coquille.
À l’intérieur de la coquille le potentiel gravitationnel obéit à l’équation de Laplace.
Extérieur de la coquille
Pour $r > a$, l’équation (1) dit
\[\iint_S \boldsymbol{g}\cdot \mathrm{d}\boldsymbol{S} = -4\pi G \times 4\pi a^2\sigma,\]car la masse incluse dans la sphère de Gauss est égale au produit de l’aire de la coquille avec sa densité surfacique.
De plus, on sait que $\boldsymbol{g}$ est toujours antiparallèle à $\boldsymbol{\hat{r}}$ donc le flux est
\[-4\pi r^2 g = -4\pi G \times 4\pi a^2\sigma\]et la norme de $\boldsymbol{g}$ se réduit à
\[g = G \frac{4\pi a^2\sigma}{r^2}.\]Remarquez que comme $M = 4\pi a^2\sigma$ on se retrouve avec la même équation que celle de l’attraction gravitationnelle causée par une masse ponctuelle qui serait située au centre de la coquille.
En notation vectorielle on se souvient que $\boldsymbol{g}$ pointe vers le centre de la coquille
\[\boldsymbol{g} = -\frac{GM}{r^2}\ \boldsymbol{\hat{r}} .\]À l’extérieur de la coquille le potentiel gravitationnel obéit à l’équation de Laplace.
Sur la coquille
Pour $r = a$, le potentiel gravitationnel obéit à l’équation de Poisson et
\[\boldsymbol{g} = -4\pi G\sigma\ \boldsymbol{\hat{r}}.\]