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2.1.4 Théorème de Gauss


Énoncé

Le flux du champ gravitationnel à travers une surface fermée $S$ formant un volume $V$ est proportionnel à la somme des masses incluses ($M_{inc}$) dans le volume.

Forme intégrale

Sous sa forme intégrale le théorème de Gauss s’écrit

\[\begin{align} \iint_S \boldsymbol{g}\cdot d\boldsymbol{S} & = -4\pi G M_{inc} \\ & = -4\pi G \iiint_V \rho\ dV, \end{align}\]

où $G$ est la constante gravitationnelle.

Forme différentielle

D’après le théorème de la divergence,

\[\iint_S \boldsymbol{g}\cdot d\boldsymbol{S} = \iiint_V \nabla\cdot\boldsymbol{g}\ dV .\]

L’équation (2) se réécrit donc comme

\[\iiint_V \nabla\cdot\boldsymbol{g}\ dV = -4\pi G \iiint_V \rho\ dV\]

et on trouve que

\[\nabla\cdot\boldsymbol{g} = -4\pi G \rho .\]

Équation de Poisson

Comme le champ gravitationnel peut s’écrire comme le gradient d’un potentiel $U$ :

\[-\nabla U = \boldsymbol{g},\]

alors la forme différentielle du théorème de Gauss exprimée en termes de $U$ est

\[\nabla^2 U = 4\pi G \rho .\]

L’équation (7) est l’équation de Poisson. Elle est valide à l’intérieur des distributions de masses (la Terre, par exemple). À l’extérieur du volume qui inclut les masses, $M_{inc} = 0$ et l’équation de Poisson est réduite à l’équation de Laplace.


Exemple de la coquille vide

Soit une coquille vide très mince de rayon $a$ et dont la masse surfacique (exprimée en unités de masse / surface) est $\sigma$, tel que montré à la Figure 1.

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Figure 1. Schéma de la sphère de Gauss de rayon $r$ autour d’une coquille de rayon $a$ et de densité surfacique $\sigma$.

Le cercle en trait continu est la coquille vide. On trace une sphère de Gauss (pointillé) de rayon $r$ autour de la coquille. Le vecteur unitaire $\hat{r}$ est normal à la sphère de Gauss. On demande de trouver l’accélération gravitationnelle à n’importe quelle distance $r$ du centre de la coquille. Une bonne stratégie est de diviser le problème en trois régions distinctes.

Intérieur de la coquille

Pour $r \lt a$, l’équation (1) se réduit à

\[\iint_S \boldsymbol{g}\cdot d\boldsymbol{S} = 0,\]

car il n’y a pas de masse incluse dans la sphère de Gauss.

De plus, on sait que $\boldsymbol{g}$ est toujours normal à la surface de la sphère, donc

\[g \iint_S d{S} = 0\]

et forcément $\boldsymbol{g} = 0$ partout dans la coquille.

À l’intérieur de la coquille le potentiel gravitationnel obéit à l’équation de Laplace.

Extérieur de la coquille

Pour $r > a$, l’équation (1) dit

\[\iint_S \boldsymbol{g}\cdot d\boldsymbol{S} = -4\pi G \times 4\pi a^2\sigma,\]

car la masse incluse dans la sphère de Gauss est égale au produit de l’aire de la coquille avec sa densité surfacique.

De plus, on sait que $\boldsymbol{g}$ est toujours antiparallèle à $\boldsymbol{\hat{r}}$ donc le flux est

\[-4\pi r^2 g = -4\pi G \times 4\pi a^2\sigma\]

et la norme de $\boldsymbol{g}$ se réduit à

\[g = G \frac{4\pi a^2\sigma}{r^2}.\]

Remarquez que comme $M = 4\pi a^2\sigma$ on se retrouve avec la même équation que celle de l’attraction gravitationnelle causée par une masse ponctuelle qui serait située au centre de la coquille.

En notation vectorielle on se souvient que $\boldsymbol{g}$ pointe vers le centre de la coquille

\[\boldsymbol{g} = -\frac{GM}{r^2}\ \boldsymbol{\hat{r}} .\]

À l’extérieur de la coquille le potentiel gravitationnel obéit à l’équation de Laplace.

Sur la coquille

Pour $r = a$, le potentiel gravitationnel obéit à l’équation de Poisson et

\[\boldsymbol{g} = -4\pi G\sigma\ \boldsymbol{\hat{r}}.\]

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© 2020-2021 Charles L. Bérubé
Polytechnique Montréal

Page last modified: Apr 28 2021 at 04:45 PM.