4.1.2 Équations de Maxwell
Équations de Maxwell
Loi de Faraday
Un champ électrique (courant) est induit le long de boucles qui entourent la surface traversée par un champ magnétique variable dans le temps.
Forme différentielle:
\[\nabla \times \boldsymbol{E} = - \frac{\partial{\boldsymbol{B}}}{\partial{t}}\]Forme intégrale:
\[\oint \boldsymbol{E} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{l} = -\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \iint_S \boldsymbol{B}\cdot \mathrm{d}\boldsymbol{S}\]Loi d’Ampère
Un courant qui perce une surface génère un champ magnétique qui tourne autour de celle-ci.
Forme différentielle:
\[\nabla \times \boldsymbol{B} = \mu_0 \left( \boldsymbol{J} + \epsilon_0 \frac{\partial{\boldsymbol{E}}}{\partial{t}} \right)\]Forme intégrale :
\[\oint \boldsymbol{B} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{l} = \mu_0 \iint_S \boldsymbol{J}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{S} + \mu_0 \epsilon_0 \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \iint_S \boldsymbol{E}\cdot \mathrm{d}\boldsymbol{S}\]Version macroscopique :
\[\oint \boldsymbol{H} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{l} = \iint_S \left( \boldsymbol{J} + \frac{\partial\boldsymbol{D}}{\partial t} \right) \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{S}\]Loi de Gauss
Le champ électrique qui sort d’une surface fermée est proportionnel à la charge contenue dans le volume.
Forme différentielle :
\[\nabla \cdot \boldsymbol{E} = \frac{\rho}{\epsilon_0}\]Forme intégrale :
\[\iint_{S} \boldsymbol{E} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{S} = \frac{1}{\epsilon_0} \iiint_V \rho \,\mathrm{d}V\]Version macroscopique :
\[\iint_{S} \boldsymbol{D} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{S} = \iiint_V \rho_f \,\mathrm{d}V\]Loi de Gauss pour le magnétisme
Le champ magnétique qui sort d’une surface fermée est toujours nul. Il n’y a pas de «charges» magnétiques dans le volume ainsi formé (les monopôles magnétiques n’existent pas).
Forme différentielle :
\[\nabla \cdot \boldsymbol{B} = 0\]Forme intégrale :
\[\iint_{S} \boldsymbol{B} \cdot\mathrm{d}\boldsymbol{S} = 0\]Exemples
Champ magnétique généré par un fil
Quel est le champ magnétique calculé à une distance $r$ d’un fil (cylindre) rectiligne infini dans lequel circule un courant continu $I$?
\[\begin{align*} \oint \boldsymbol{B} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{l} &= \mu_0 \iint_S \boldsymbol{J}\cdot \mathrm{d}\boldsymbol{S} + \mu_0 \epsilon_0 \frac{d}{dt} \iint_S \boldsymbol{E}\cdot \,\mathrm{d}\boldsymbol{S}\\ \oint \boldsymbol{B} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{l} &= \mu_0 \iint_S \boldsymbol{J}\cdot \mathrm{d}\boldsymbol{S} & \textrm{en régime stationnaire}\\ B \oint \mathrm{d}l &= \mu_0 J \iint_S \mathrm{d}S & \textrm{car } \boldsymbol{B} \parallel \boldsymbol{l} \textrm{ et } \boldsymbol{J} \parallel \boldsymbol{S} \\ B \cdot 2\pi r &= \mu_0 I & \textrm{par définition de } J \\ \boldsymbol{B} &= \frac{\mu_0 I}{2\pi r} \boldsymbol{\hat{\theta}}& \boldsymbol{B} \textrm{ tourne autour du fil} \end{align*}\]Champ électrique d’un électron
Quel est le champ électrique à une distance $r$ d’un électron libre?
\[\begin{align*} \iint_{S} \boldsymbol{E} \cdot\mathrm{d}\boldsymbol{S} &= \frac{1}{\epsilon_0} \iiint_V \rho \,\mathrm{d}V\\ E \iint_{S}\mathrm{d}S &= \frac{e}{\epsilon_0}\\ E \cdot 4\pi r^2 &= \frac{e}{\epsilon_0}\\ \boldsymbol{E} &= \frac{e}{4\pi \epsilon_0 r^2} \boldsymbol{\hat{r}}\\ \end{align*}\]