4.1.2 Équations de Maxwell
Équations de Maxwell
Loi de Faraday
Une force électromotrice, égale à la circulation du champ électrique, est induite le long de toute boucle entourant une surface où le flux du champ magnétique varie dans le temps.
Forme différentielle:
\[\nabla \times \boldsymbol{E} = - \frac{\partial{\boldsymbol{B}}}{\partial{t}}\]Forme intégrale:
\[\oint \boldsymbol{E} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{l} = -\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \iint_S \boldsymbol{B}\cdot \mathrm{d}\boldsymbol{S}\]Loi d’Ampère
Un courant qui perce une surface génère un champ magnétique qui tourne autour de celle-ci.
Forme différentielle:
\[\nabla \times \boldsymbol{B} = \mu_0 \left( \boldsymbol{J} + \epsilon_0 \frac{\partial{\boldsymbol{E}}}{\partial{t}} \right)\]Forme intégrale :
\[\oint \boldsymbol{B} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{l} = \mu_0 \iint_S \boldsymbol{J}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{S} + \mu_0 \epsilon_0 \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \iint_S \boldsymbol{E}\cdot \mathrm{d}\boldsymbol{S}\]Version macroscopique :
\[\oint \boldsymbol{H} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{l} = \iint_S \left( \boldsymbol{J}_f + \frac{\partial\boldsymbol{D}}{\partial t} \right) \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{S}\]Avec $\mu_{0}=1.257\times10^{-6}\ \mathrm{N\,A^{-2}}$ et $\epsilon_{0}=8.854\times10^{-12}\ \mathrm{F\,m^{-1}}$.
Loi de Gauss
Le champ électrique qui sort d’une surface fermée est proportionnel à la charge contenue dans le volume.
Forme différentielle :
\[\nabla \cdot \boldsymbol{E} = \frac{\rho}{\epsilon_0}\]Forme intégrale :
\[\iint_{S} \boldsymbol{E} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{S} = \frac{1}{\epsilon_0} \iiint_V \rho \,\mathrm{d}V\]Version macroscopique :
\[\iint_{S} \boldsymbol{D} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{S} = \iiint_V \rho_f \,\mathrm{d}V\]Loi de Gauss pour le magnétisme
Le champ magnétique qui sort d’une surface fermée est toujours nul. Il n’y a pas de «charges» magnétiques dans le volume ainsi formé (les monopôles magnétiques n’existent pas).
Forme différentielle :
\[\nabla \cdot \boldsymbol{B} = 0\]Forme intégrale :
\[\iint_{S} \boldsymbol{B} \cdot\mathrm{d}\boldsymbol{S} = 0\]Exemples
Champ magnétique généré par un fil
Quel est le champ magnétique calculé à une distance $r$ d’un fil (cylindre) rectiligne infini dans lequel circule un courant continu $I$?
\[\begin{align*} \oint \boldsymbol{B} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{l} &= \mu_0 \iint_S \boldsymbol{J}\cdot \mathrm{d}\boldsymbol{S} + \mu_0 \epsilon_0 \frac{d}{dt} \iint_S \boldsymbol{E}\cdot \,\mathrm{d}\boldsymbol{S}\\ \oint \boldsymbol{B} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{l} &= \mu_0 \iint_S \boldsymbol{J}\cdot \mathrm{d}\boldsymbol{S} & \textrm{en régime stationnaire}\\ B \oint \mathrm{d}l &= \mu_0 J \iint_S \mathrm{d}S & \textrm{car } \boldsymbol{B} \parallel \boldsymbol{l} \textrm{ et } \boldsymbol{J} \parallel \boldsymbol{S} \\ B \cdot 2\pi r &= \mu_0 I & \textrm{par définition de } J \\ \boldsymbol{B} &= \frac{\mu_0 I}{2\pi r} \boldsymbol{\hat{\theta}}& \boldsymbol{B} \textrm{ tourne autour du fil} \end{align*}\]Champ électrique d’un électron
Quel est le champ électrique à une distance $r$ d’un électron libre?
\[\begin{align*} \iint_{S} \boldsymbol{E} \cdot\mathrm{d}\boldsymbol{S} &= \frac{1}{\epsilon_0} \iiint_V \rho \,\mathrm{d}V \\ E \iint_{S}\mathrm{d}S &= \frac{e}{\epsilon_0} & \\ -E \cdot 4\pi r^2 &= \frac{e}{\epsilon_0} & \textrm{ le flux est vers le centre} \\ \boldsymbol{E} &= -\frac{e}{4\pi \epsilon_0 r^2} \boldsymbol{\hat{r}}\\ \end{align*}\]