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4.1.2 Équations de Maxwell


Équations de Maxwell

Loi de Faraday

Un champ électrique (courant) est induit le long de boucles qui entourent la surface traversée par un champ magnétique variable dans le temps.

Forme différentielle:

\[\nabla \times \boldsymbol{E} = - \frac{\partial{\boldsymbol{B}}}{\partial{t}}\]

Forme intégrale:

\[\oint \boldsymbol{E} \cdot d\boldsymbol{l} = -\frac{d}{dt} \iint_S \boldsymbol{B}\cdot d\boldsymbol{S}\]

Loi d’Ampère

Un courant qui perce une surface génère un champ magnétique qui tourne autour de celle-ci.

Forme différentielle:

\[\nabla \times \boldsymbol{B} = \mu_0 \left( \boldsymbol{J} + \epsilon_0 \frac{\partial{\boldsymbol{E}}}{\partial{t}} \right)\]

Forme intégrale :

\[\oint \boldsymbol{B} \cdot d\boldsymbol{l} = \mu_0 \iint_S \boldsymbol{J}\cdot d\boldsymbol{S} + \mu_0 \epsilon_0 \frac{d}{dt} \iint_S \boldsymbol{E}\cdot d\boldsymbol{S}\]

Version macroscopique :

\[\oint \boldsymbol{H} \cdot d\boldsymbol{l} = \iint_S \left( \boldsymbol{J} + \frac{\partial\boldsymbol{D}}{\partial t} \right) \cdot d\boldsymbol{S}\]

Loi de Gauss

Le champ électrique qui sort d’une surface fermée est proportionnel à la charge contenue dans le volume.

Forme différentielle :

\[\nabla \cdot \boldsymbol{E} = \frac{\rho}{\epsilon_0}\]

Forme intégrale :

\[\iint_{S} \boldsymbol{E} \cdot d\boldsymbol{S} = \frac{1}{\epsilon_0} \iiint_V \rho \, dV\]

Version macroscopique :

\[\iint_{S} \boldsymbol{D} \cdot d\boldsymbol{S} = \iiint_V \rho_f \, dV\]

Loi de Gauss pour le magnétisme

Le champ magnétique qui sort d’une surface fermée est toujours nul. Il n’y a pas de «charges» magnétiques dans le volume ainsi formé (les monopôles magnétiques n’existent pas).

Forme différentielle :

\[\nabla \cdot \boldsymbol{B} = 0\]

Forme intégrale :

\[\iint_{S} \boldsymbol{B} \cdot \,d\boldsymbol{S} = 0\]

Exemples

Champ magnétique généré par un fil

Quel est le champ magnétique calculé à une distance $r$ d’un fil (cylindre) rectiligne infini dans lequel circule un courant continu $I$?

\[\begin{align*} \oint \boldsymbol{B} \cdot d\boldsymbol{l} &= \mu_0 \iint_S \boldsymbol{J}\cdot d\boldsymbol{S} + \mu_0 \epsilon_0 \frac{d}{dt} \iint_S \boldsymbol{E}\cdot \,d\boldsymbol{S}\\ \oint \boldsymbol{B} \cdot d\boldsymbol{l} &= \mu_0 \iint_S \boldsymbol{J}\cdot d\boldsymbol{S} & \textrm{en régime stationnaire}\\ B \oint dl &= \mu_0 J \iint_S dS & \textrm{car } \boldsymbol{B} \parallel \boldsymbol{l} \textrm{ et } \boldsymbol{J} \parallel \boldsymbol{S} \\ B \cdot 2\pi r &= \mu_0 I & \textrm{par définition de } J \\ \boldsymbol{B} &= \frac{\mu_0 I}{2\pi r} \boldsymbol{\hat{\theta}}& \boldsymbol{B} \textrm{ tourne autour du fil} \end{align*}\]

Champ électrique d’un électron

Quel est le champ électrique à une distance $r$ d’un électron libre?

\[\begin{align*} \iint_{S} \boldsymbol{E} \cdot d\boldsymbol{S} &= \frac{1}{\epsilon_0} \iiint_V \rho \, dV\\ E \iint_{S} dS &= \frac{e}{\epsilon_0}\\ E \cdot 4\pi r^2 &= \frac{e}{\epsilon_0}\\ \boldsymbol{E} &= \frac{e}{4\pi \epsilon_0 r^2} \boldsymbol{\hat{r}}\\ \end{align*}\]

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© 2020-2021 Charles L. Bérubé
Polytechnique Montréal

Page last modified: Apr 28 2021 at 02:53 PM.