2.1.2 Loi de l’attraction universelle
Définition intuitive
La loi de l’attraction universelle (ou loi universelle de la gravitation) décrit l’attraction entre des corps qui possèdent une masse. Cette loi explique le mouvement des planètes et pourquoi les objets tombent vers la surface terrestre.
Plus spécifiquement, la loi de l’attraction universelle dit qu’une masse exerce une force sur toutes les autres masses. Dans le cas de deux masses ponctuelles, cette force est orientée selon la ligne qui relie les deux points. Autrement, la force est plutôt orientée vers le centre de masse du système. Comme l’a formulé Newton, l’amplitude de la force est proportionnelle au produit des deux masses et inversement proportionnelle au carré de la distance qui les sépare.
Formulation mathématique
La loi de l’attraction universelle dit que la force d’attraction $F$ entre deux masses $m_1$ et $m_2$ est
\[F = G\frac{m_1 m_2}{r^2}\]où $G$ est la constante gravitationnelle et $r$ la distance qui sépare les deux masses.
La constante gravitationnelle
Sachant que 1 N = 1 kg$\cdot$m$\cdot$s-2, on peut analyser l’équation (1) dans les unités SI :
\[[\text{kg}]\cdot[\text{m}]\cdot[\text{s}]^{-2} = G \cdot \frac{[\text{kg}]^2}{[\text{m}]^2}\]On trouve que $G$ a les dimensions m3 kg-1s-2.
La valeur de $G$ a été obtenue expérimentalement dès 1798. Aujourd’hui sa valeur est établie à
\[G = 6.674\times 10^{−11} \frac{\text{m}^3}{\text{kg}\cdot\text{s}^2}.\]Notation vectorielle
L’équation (1) est une équation scalaire, elle décrit l’amplitude de la force d’attraction entre deux masses sans préoccupation pour la direction dans laquelle la force agit.
En fait l’attraction gravitationnelle est une quantité vectorielle. Soit un point $P$ à une distance $r$ d’une masse ponctuelle $m$, tel que montré à la Figure 1.
Figure 1. Schéma montrant une masse $m$ qui exerce une attraction au point $P$. Le vecteur $\boldsymbol{r}$ représente la position de $P$ par rapport à $m$.
D’après la deuxième loi de Newton le champ d’accélération gravitationnelle $\boldsymbol{g}$ au point $P$ est
\[\boldsymbol{g} = -\frac{Gm}{r^2}\ \boldsymbol{\hat{r}} ,\]où $r$ est la distance entre $P$ et $m$ et $\boldsymbol{\hat{r}}$ est le vecteur unitaire qui pointe de $m$ vers $P$.
- Rappel
- $\boldsymbol{r} = r\,\boldsymbol{\hat{r}}$.
Le signe négatif indique que l’attraction au point $P$ est dirigée vers la masse $m$. On pourrait aussi définir cette équation dans un système cartésien, car
\[r^2 = (x-\xi)^2 + (y-\eta)^2 + (z-\zeta)^2\]et
\[\boldsymbol{\hat{r}} = (\sin\theta\cos\phi)\ \boldsymbol{\hat{x}} + (\sin\theta\sin\phi)\ \boldsymbol{\hat{y}} + (\cos\theta)\ \boldsymbol{\hat{z}} ,\]où $\theta$ est la colatitude et $\phi$ est la longitude.
Autres ressources
- Histoire de la découverte de l’attraction gravitationnelle
- Aide-mémoire sur les coordonnées cylindriques, sphériques et cartésiennes [anglais]