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2.3.2 Correction de latitude


Définition

On sait que la Terre est un ellipsoïde à cause de sa rotation autour de son axe. En effet, quand on se déplace le long d’un méridien en partant de l’équateur vers les pôles, la distance qui nous sépare du centre de la Terre diminue. L’aplatissement de la Terre est montré à la Figure 1 pour un déplacement du point ($r_0$, $\phi_0$) au point ($r’$, $\phi’$).

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Figure 1. Section verticale montrant l’aplatissement de la Terre aux pôles par rapport à l’équateur.

Sur cet ellipsoïde, l’accélération gravitationnelle normale à la surface de la Terre $g$ est décrite par la formule internationale de la gravité pour toutes les latitudes ($\phi$) :

\[g = g_{eq} \frac{1 + p\sin^2\phi}{\sqrt{1 - e^2\sin^2\phi}},\]

où $g_{eq} = 9.780327$ m/s$^2$ est la gravité à l’équateur. La constante $p$ dépend du ratio entre la gravité observée aux pôles ($g_{po}$) et à l’équateur ($g_{eq}$) :

\[p = \frac{b}{a}\frac{g_{po}}{g_{eq}} - 1 .\]

La constante $e$ correspond à l’excentricité d’un l’ellipsoïde dont les axes semi-majeurs et semi-mineurs sont respectivement $a$ et $b$ :

\[e^2 = 1 - \frac{b^2}{a^2} .\]

Une expansion en série permet d’approximer l’équation (1) par

\[g = g_{eq} (1 + c_1\sin^2\phi + c_2\sin^4 \phi + \dots),\]

où $c_1 = 5.2790414\times 10^{-3}$ et $c_2 = 2.32718\times 10^{-5}$ sont les deux premiers coefficients de l’expansion en série.

On s’intéresse à la variation de $g$ pour un changement de latitude donné. La variation $\Delta g$ pour un déplacement $l$ (en mètres) suivant un méridien est

\[\Delta g = \frac{\partial g}{\partial l} l,\]

avec

\[dl = R(\phi)\ d\phi \approx R_{eq}\ d\phi ,\]

où $R_{eq}$ est le rayon de la Terre à l’équateur ($6.378\times 10^{6}$ m).

On a donc

\[\Delta g = \frac{l}{R_{eq}} \frac{\partial g}{\partial \phi}\]

et en considérant seulement les deux premiers termes de l’équation (4) la dérivée devient

\[\begin{align} \Delta g & = \frac{g_{eq} c_1 (2\sin\phi\cos\phi)}{R_{eq}} l ,\\ & = \frac{g_{eq} c_1\sin(2\phi)}{R_{eq}} l . \end{align}\]

Remarquez que $\Delta g$ est positive lorsque $l$, qui est définie comme la distance parcourue vers le nord le long d’un méridien, est positive. C’est parce qu’on se rapproche du centre de la Terre quand on se dirige vers le nord. La correction qu’il faut apporter pour compenser cet effet doit être de signe opposé.

Ainsi, dans un système de coordonnées cartésien, si $y_0$ est la position vers le nord (en m) d’une station de référence, alors la correction de latitude $\Delta g_L$ qu’on doit appliquer sur une mesure réalisée à la position $y’$ s’écrit comme :

\[\Delta g_L = -\frac{g_{eq} c_1\sin(2\phi)}{R_{eq}} (y' - y_0).\]

La position vers le nord exprimée en mètres est plus communément appelée northing en anglais.


Exemple : levé gravimétrique à Montréal

Supposons qu’on réalise un levé gravimétrique de haute précision dans la région de Montréal pour caractériser l’étendue d’une cavité souterraine formée par un effondrement en zone urbaine. La latitude de Montréal est $\phi = 45.5017^\circ$ N. On sait que $R_e = 6.378\times 10^6$ m. La logistique du levé veut que toutes les lignes de mesures soient orientées nord-sud.

La valeur de la correction de latitude en unités SI pour ce levé sera

\[\Delta g_L \approx -8.09\times 10^{-9} (y' - y_0).\]

En d’autres mots, pour chaque mètre parcouru vers le nord, il faudra soustraire une valeur de $8.09\times 10^{-9}$ m/s$^2$ ou $0.00081$ mGal aux données.

Cette correction pourrait vous paraître insignifiante à première vue pour des levés à petite échelle. Cependant, dans les applications de la gravimétrie en génie civil on s’intéresse parfois à des variations dans la gravité de l’ordre de quelques $\mu$Gal (d’où le terme microgravimétrie). En unité SI cela correspond à des variations de l’ordre de $10^{-8}$ m/s$^2$. La correction de latitude peut être comparable aux signaux subtils qu’on tente de mesurer!


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© 2020-2021 Charles L. Bérubé
Polytechnique Montréal

Page last modified: Apr 28 2021 at 04:34 PM.