3.2 Échantillonnage des signaux géophysiques
Signaux géophysiques
Supposons qu’on réalise un levé géophysique de gravimétrie le long d’un profil d’une longueur totale $L$ (en m). On procède à une mesure de l’accélération gravitationnelle à un nombre $N$ de stations le long du profil. Chaque station est identifiée par l’indice $n$ et toutes les stations sont espacées de la même distance soit $L/N$ m. La valeur de la gravité mesurée à chaque station constitue un signal géophysique. Le signal mesuré est présenté à la Figure 1.
Figure 1. La gravité mesurée à différentes stations $n$ le long d’un profil géophysique constitue un signal discret.
Les signaux géophysiques, tels qu’on les mesure sur le terrain, sont des signaux numériques discrets. Le signal géophysique correspond à $s(n)$ dans la notation de la transformation de Fourier discrète vue dans la section précédente. Le signal gravimétrique présenté à la Figure 1 est caractérisé par les paramètres de base suivants :
- $L\ $
- 60 m
- $N\ $
- 25
- $L/N\ $
- 2.4 m
On va maintenant définir d’autres quantités importantes qui sont caractéristiques de ce signal.
Fréquence d’échantillonnage
La fréquence d’échantillonnage ($f_e$) est la fréquence à laquelle on observe un signal. Pour un signal qui varie dans le temps, la fréquence d’échantillonnage est exprimée en Hz (on prend $f_e$ mesures par seconde). Pour un signal qui varie dans l’espace, comme une image, une carte ou un profil géophysique, la fréquence d’échantillonnage est exprimée en m$^{-1}$. Dans le signal gravimétrique de la Figure 1 :
- $f_e\ $
- 0.42 m$^{-1}$
Fréquence de Nyquist
On appelle la fréquence de Nyquist ($f_{N}$) la fréquence qui correspond à la moitié de la fréquence d’échantillonnage, tel que
\[f_{N} = \frac{f_e}{2} .\]Fréquence maximale du signal
La fréquence maximale d’un signal est la fréquence qui représente les variations les plus rapprochées qu’on pourrait observer. Pour un signal déjà échantillonné cette fréquence correspond à la fréquence de Nyquist.
En pratique on veut parfois estimer la fréquence maximale d’un signal anticipé, de façon à bien choisir une fréquence d’échantillonnage adéquate. On pourrait estimer la fréquence maximale du signal anticipé à partir des connaissances géologiques a priori au sujet de la géométrie de la cible.
Dimensions du signal
La représentation 1D est utilisée dans les notes de cours pour simplifier l’explication des concepts liés à l’échantillonnage. Un profilage géophysique est un exemple de signal 1D. Cependant, les levés géophysiques sont plus souvent présentés sous forme de carte (2D) et même parfois en 3D quand des mesures sont réalisées en forages. Il faut comprendre que le théorème d’échantillonnage se généralise à plusieurs dimensions, comme les transformations de Fourier. On verra plus d’exemples d’analyse spectrale 2D sur des cartes géophysiques dans les sections suivantes.
Théorème d’échantillonnage
Le théorème d’échantillonnage dit que :
La représentation discrète d’un signal exige des échantillons régulièrement espacés à une fréquence d’échantillonnage supérieure au double de la fréquence maximale présente dans ce signal. Source.
Celui-ci nous renseigne sur combien d’échantillons il faut, au minimum, pour représenter un signal de façon exacte. En d’autres mots, il faut qu’à partir des échantillons mesurés on puisse reconstruire le signal original sans aucune ambiguïté. Nous allons voir un exemple pour montrer ce qu’on entend par ambiguïté dans la reconstruction du signal.
Repliement du spectre
Prenons par exemple le signal de forme sinusoïdale composé de seulement quatre points tel que montré à la Figure 2.
Figure 2. Exemple d’un signal échantillonné avec une fréquence spatiale de 4 points par mètre.
Il existe en réalité plusieurs (une infinité) de signaux sinusoïdaux qui passent par ces points. C’est ce qu’on appelle le repliement du spectre, ou aliasing en anglais. La Figure 3 montre un exemple de repliement avec trois exemples de spectres qui pourraient expliquer les points échantillonnés. L’utilisation du mot alias en anglais découle de cette ambiguïté dans le signal échantillonné : c’est comme si certains signaux dont la fréquence est trop élevée pour être expliquée par les observations tentaient de se faire passer pour le signal d’origine.
Figure 3. Concept de repliement du spectre. Le signal échantillonné peut être expliqué avec des signaux de fréquences différentes.
Le théorème d’échantillonnage nous donne cependant une façon de déterminer auquel des signaux ces points appartiennent réellement : c’est celui dont la fréquence spatiale est au moins supérieure à la fréquence de Nyquist. En effet les échantillons contiennent suffisamment d’information pour décrire un seul de ces signaux. Dans l’exemple de la Figure 3 on a
- $f_{Ny}\ $
- 2 m$^{-1}$
et les fréquences spatiales des signaux sont :
- Bleu
- 1 m$^{-1}$
- Orange
- 2 m$^{-1}$
- Vert
- 5 m$^{-1}$
On aurait pu dessiner une infinité de signaux avec des fréquences plus élevées, mais il vaut mieux s’en tient à trois pour alléger l’illustration. Un seul de ces signaux satisfait le théorème d’échantillonnage : le signal bleu. Avec sa longueur d’onde de 1 m (donc $f_{max} =$ 1 m$^{-1}$) celui-ci est échantillonné quatre fois par période. On peut donc le reconstruire sans ambiguïté. On dit que les échantillons contiennent toute l’information nécessaire à la reconstruction du signal bleu.
Pour le signal orange, on a seulement 2 points échantillonnés par cycle. C’est égal à la fréquence de Nyquist des échantillons, mais pas supérieur, ce qui ne satisfait pas le théorème d’échantillonnage. Ce signal contient donc une fréquence $f_{max}$ qui est trop élevée pour être captée par les échantillons : il y a une perte d’information. Pour le signal vert, on a seulement 1 point par cycle, et il y a une perte d’information encore plus grande.
Remarquez que le choix du signal bleu est aussi en accord avec le principe de parcimonie.
Détermination de $f_e$ pour un levé
La fréquence de Nyquist est habituellement limitée par l’instrument de mesure. Par exemple,
- un détecteur installé sur un satellite peut capter des images de la surface terrestre avec 5 pixels/m,
- les sons transmis par télévision sont échantillonnés à une fréquence de 48 kHz pour assurer la haute fidélité,
- un oscilloscope 16 bits peut discrétiser un signal en 65 536 points.
En géophysique appliquée la fréquence d’échantillonnage est plutôt limitée pour des raisons logistiques. En effet il n’y a pas de fréquence d’échantillonnage trop grande pour décrire un signal, et en théorie rien ne nous empêcherait de faire un levé gravimétrique avec des stations espacées de quelques centimètres seulement. Cependant, il faut comprendre que le budget d’un levé géophysique dépend fortement du nombre de stations à visiter. On cherche donc à utiliser une fréquence d’échantillonnage qui satisfait le théorème d’échantillonnage tout en minimisant les coûts du levé. Regardez la Vidéo 1.
Vidéo 1. Simulation de la reconstruction d’un signal à partir de son spectre pour différentes fréquences d’échantillonnage.
Ce qui se passe dans la vidéo :
- On a un signal spatial quelconque (en haut, en noir) dont la transformation de Fourier dans le domaine spectral est montrée en bas (en noir).
- Une estimation de la $f_{max}$ du signal est indiquée sur son spectre.
- Les cercles sur le signal (en haut) correspondent à des points échantillonnés sur le signal noir.
- La partie remplie (en rouge) sous le spectre correspond à la gamme de fréquence couverte par l’échantillonnage. $f_{Ny}$ et $f_e$ sont identifiées sur le spectre.
- Le signal rouge (en haut) est le signal reconstruit à partir du spectre pour une $f_e$ donnée.
La fréquence d’échantillonnage est augmentée au fur et à mesure que la vidéo avance. Remarquez comment le signal ne peut pas être reconstruit de façon exacte pour toutes les fréquences de Nyquist inférieures à $f_{max}$. Quand $f_{Ny} \gt f_{max}$, alors il ne reste plus qu’une seule possibilité pour expliquer le signal d’origine et celui-ci est correctement reconstruit à partir de la transformée inverse du spectre. Un bon choix de $f_e$ pour éviter toute perte d’information avec ce signal est donc $f_e \gt 2f_{max}$ : c’est le théorème d’échantillonnage.
Le choix de la fréquence d’échantillonnage se fait au stade de la planification logistique du levé. Pour faire un choix éclairé, il faut être en mesure d’estimer la fréquence maximale du signal qu’on tente de résoudre par la méthode géophysique choisie. On peut estimer cette fréquence en faisant la transformation de Fourier du signal anticipé ou en ayant des connaissances a priori sur la distribution des propriétés physiques dans le sol.