4.1.1 Force de Lorentz
Définition intuitive
De façon similaire au champ gravitationnel, le champ magnétique peut aussi s’exprimer comme le gradient d’un potentiel scalaire dans certaines conditions. Les concepts de champ vectoriel et de potentiel scalaire qu’on a vus au chapitre 2 peuvent être transposés aux notions de magnétisme. En gravité, tout était défini par rapport à la force d’attraction qui agit entre deux masses (loi l’attraction universelle). En magnétisme, les concepts analogues pour les masses seraient deux petites boucles dans lesquelles circulent un courant. La force qui agit entre ces boucles est appelée la force de Lorentz.
Formulation mathématique
Un courant électrique induit une force qui agit sur une charge en mouvement (par exemple un électron). La force est donnée par le produit vectoriel de la densité de flux du champ magnétique ($\boldsymbol{B}$) et du vecteur de vitesse de la charge ($\boldsymbol{v}$), tel que
\[\boldsymbol{F} = q\boldsymbol{v} \times \boldsymbol{B} ,\]où $q$ est la charge élémentaire. C’est l’équation de Lorentz en magnétisme. On se souvient que la multiplication d’une charge électrique avec une vitesse donne les unités d’un courant électrique ($q\boldsymbol{v} = \boldsymbol{I}$).
Loi de Biot-Savart
Considérons deux petites boucles dans lesquelles circulent un courant, tel que montré à la Figure 1. Un courant $I_a$ circule dans la première boucle et un courant $I_b$ circule dans la seconde. On va définir $\mathrm{d}\boldsymbol{l}_a$ et $\mathrm{d}\boldsymbol{l}_b$ comme des éléments infinitésimaux de la première et deuxième boucle, respectivement. Attention, $\mathrm{d}\boldsymbol{l}_a$ et $\mathrm{d}\boldsymbol{l}_b$ sont des vecteurs, ils pointent dans la direction tangentielle à la boucle.
La force qui agit sur $\mathrm{d}\boldsymbol{l}_a$ causée par le courant qui circule dans $\mathrm{d}\boldsymbol{l}_b$ est donnée par la force de Lorentz :
\[\mathrm{d}\boldsymbol{f}_a = C_m I_a I_b \frac{\mathrm{d}\boldsymbol{l}_a \times (\mathrm{d}\boldsymbol{l}_a \times \boldsymbol{\hat{r}}) }{r^2} ,\]où $C_m = \mu_0/4\pi$ est une constante ($\mu_0$ est la perméabilité du vide) et $r$ est la distance entre $\mathrm{d}\boldsymbol{l}_a$ et $\mathrm{d}\boldsymbol{l}_b$.
On voit immédiatement les parallèles avec la loi de l’attraction universelle. Premièrement, il y a une dépendance en $1/r^2$. Deuxièmement, la constante $C_m$ prend le rôle analogue de la constante gravitationnelle ($G$). On peut réécrire l’équation (2) comme
\[\mathrm{d}\boldsymbol{f}_a = I_a \mathrm{d}\boldsymbol{l}_a \times \mathrm{d}\boldsymbol{B}_b ,\]où
\[\mathrm{d}\boldsymbol{B}_b = C_m I_b \frac{\mathrm{d}\boldsymbol{l}_b \times \boldsymbol{\hat{r}} }{r^2} .\]On reconnait dans l’équation (3) la forme différentielle de l’équation de Lorentz (1).
Finalement, si on intègre l’équation (4) pour faire le tour de la deuxième boucle, on obient:
\[\boldsymbol{B} = C_m I_b \oint \frac{\mathrm{d}\boldsymbol{l}_b \times \boldsymbol{\hat{r}}}{r^2} .\]C’est la loi de Biot-Savart. Elle permet de calculer la densité de flux magnétique ($\boldsymbol{B}$) pour une boucle dans laquelle circule un courant.
Unités SI
En unités SI, les courants électriques sont exprimés en ampère (A). $\boldsymbol{B}$ est exprimé en tesla (T). En géophysique, la densité de flux du champ magnétique de la Terre est souvent exprimée en nanotesla (1 nT = $10^{-9}$ T).