2.2.4 Principe de mesure
- Mesure de $\Delta\boldsymbol{g}$
- Exemple : profilage gravimétrique
- Autres méthodes de mesure
- Autres ressources
Mesure de $\Delta\boldsymbol{g}$
L’amplitude des anomalies de gravité causées par les contrastes de densité dans le sol varient généralement entre 10$^{-3}$ et 10$^{-7}$ m/s$^2$. Les anomalies sont très subtiles. En effet les anomalies gravimétriques qui nous intéressent peuvent représenter seulement 1 partie par milliard (ppb) comparativement à la valeur moyenne de la gravité (9.8 m/s$^2$ $\approx$ 10$^1$ m/s$^2$).
Méthode du gravimètre
Pour comprendre comment il est possible de mesurer de si petites variations dans l’accélération gravitationnelle, on peut utiliser le principe fondamental de la dynamique (deuxième loi de Newton) et la loi de Hooke.
Soit une masse $m$ qui est suspendue à un ressort dont la constante de rappel est $k$, tel que montré sur la Figure 1.
Figure 1. Schéma montrant l’allongement d’un ressort dont la constante de rappel est $k$ suite à l’application d’une force externe vers le bas sur la masse $m$ qu’il retient.
La loi de Hooke dit que le déplacement $\Delta z$ subit par la masse est proportionnel à la force $F$ appliquée sur celle-ci :
\[F = k\Delta z.\]Si on suppose que la force responsable de l’étirement du ressort est celle de l’attraction universelle, alors pour un petit changement d’accélération gravitationnelle $dg$ le ressort va subir un petit allongement de $\Delta z$ :
\[m\Delta g = k\Delta z,\] \[\Delta g = \frac{k}{m} \Delta z.\]L’allongement est la valeur mesurée par le gravimètre. On enregistre le changement de gravité en mesurant l’allongement du ressort.
Pour détecter $\Delta g$ de 0.1 $\mu$Gal, la lecture de $\Delta z$ doit avoir une sensibilité de l’ordre de $10^{−7}$ cm. Il faut donc des ressorts extrêmement sensibles.
Mesure relative
Un gravimètre à ressort permet de faire une mesure relative de l’accélération gravitationnelle. C’est-à-dire que $\Delta g$ doit toujours être défini par rapport à un niveau de référence et que la valeur absolue mesurée par un gravimètre à ressort n’a pas de signification pour l’interprétation géologique. Le changement de gravité doit être interprété comme un contraste de densité dans le sol.
Composante verticale
Il faut aussi comprendre que le gravimètre à ressort mesure seulement la composante verticale du changement d’accélération gravitationnelle ($\Delta g_z$) :
\[\begin{align} \Delta \boldsymbol{g}_{mesure} & = \Delta g_x\ \boldsymbol{\hat{x}} + \Delta g_y\ \boldsymbol{\hat{y}} + \Delta g_z \ \boldsymbol{\hat{z}} \\ & = \Delta g_z\ \boldsymbol{\hat{z}}. \end{align}\]Pour cette raison un gravimètre doit toujours être mis à niveau avant d’effectuer une lecture. Les gravimètres modernes sont équipés de systèmes pour faire la mise à niveau automatiquement.
Exemple : profilage gravimétrique
Voyons plus en détail comment on procède à la réalisation d’un levé gravimétrique avec un exemple simple.
Soit un excès de masse ponctuel $M$ située à la position $(\xi, \zeta)$ sous la surface terrestre. On s’intéresse à étudier les variations dans l’accélération gravitationnelle causées par cet excès de masse et détectables à partir de la surface. La Figure 2 montre la géométrie du problème.
Figure 2. Schéma montrant l’accélération gravitationnelle causée par $M$ et ressentie à chaque station du profil gravimétrique.
On déplace le gravimètre de station en station le long du profil $x$. Chaque station est définie par une paire de coordonnées ($x_i, z_i$). L’accélération gravitationnelle $\boldsymbol{g}_i$ pour chaque station pointe vers l’excès de masse de façon radiale. Cependant, le gravimètre peut seulement mesurer la composante verticale de l’accélération.
Si on place ($x_i, z_i$) à l’origine d’un système de coordonnées polaires on a
\[r^2 = \Delta x^2 + \Delta z^2\]et
\[\Delta z = r\cos{\theta}.\]avec les substitutions $\Delta x = x_i - \xi$ et $\Delta z = z_i - \zeta$.
La composante verticale de l’accélération gravitationnelle ($\Delta g_z$) ressentie par le gravimètre à chaque station ($x_i, z_i$) est donc
\[\Delta g_{z}(x_i, z_i) = G M \frac{\Delta z}{(\Delta x^2 + \Delta z^2)^{3/2}},\]où $G$ est la constante gravitationnelle. Faites l’exercice pour vous en convaincre.
Le profilage géophysique est la collection des accélérations gravitationnelles mesurées à toutes les stations. On peut visualiser les données recueillies à chaque station en traçant le profil gravimétrique de la masse $M$ à chaque station correspondante. Le résultat est montré dans la Vidéo 1.
Vidéo 1. Simulation d’un profilage gravimétrique au-dessus d’une hétérogénéité de masse $M$ située dans le sol.
L’allongement du ressort dans le gravimètre est illustrée par la longueur de la flèche $g_z$. Remarquez comment le ressort s’allonge et $g_z$ s’amplifie lorsque le gravimètre passe à proximité de la masse $M$. Notez bien trois observations importantes :
- $\Delta g_z \to 0$ quand $x\to\pm\infty$
- $\Delta g_z$ est maximal quand le gravimètre est directement au-dessus de $M$
- La symétrie du problème produit une anomalie symétrique
Comme nous le verrons dans la section sur l’interprétation, il est possible de déduire les paramètres de la masse en étudiant la forme de l’anomalie (p. ex. son amplitude maximale, sa largeur à mi-hauteur, sa symétrie).
Autres méthodes de mesure
On peut diviser les instruments servant à mesurer la gravité en deux catégories :
- instruments à mesure absolue
- instruments à mesure relative
Parmi les instruments à mesure absolue on retrouve le pendule et les gravimètres à chute libre. Comme expliqué plus haut, les gravimètres conventionnels – et leur ancêtre la balance à torsion – sont des instruments à mesure relative.
Les instruments à mesure absolue ont une précision généralement moins élevée que les instruments à mesure relative. C’est correct : du point de vue des hétérogénéités dans le sol la valeur absolue de la gravité ne nous intéresse pas.
Je vous conseille fortement de consulter les liens donnés dans cette section pour vous familiariser avec la terminologie utilisée en gravimétrie et pour mieux comprendre les différentes façons de mesurer l’accélération gravitationnelle. Le tableau suivant résume les points principaux.
| Type | Prix | Précision | Remarques | |
|---|---|---|---|---|
| Pendule | Absolu | $\downarrow$ | mGal | Expérience maison |
| À chute libre | Absolu | $\uparrow$ | $\mu$Gal | Se déplace mal |
| Gravimètre | Relatif | $\uparrow$ | $\mu$Gal | Mesures rapides |
| Balance à torsion | Relatif | Gradient seulement | ||
| Pendule | Relatif | $\mu$Gal | Mesures lentes |
Autres ressources
- Montage avec Arduino pour mesurer l’accélération gravitationnelle. C’est pour les jeunes, mais ça démontre très bien les considérations pratiques pour mesurer la gravité absolue avec la méthode du pendule.