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2.4.4 Principe de superposition


Définition

Le principe de superposition s’applique aux méthodes géophysiques de potentiel, incluant la gravimétrie et la magnétométrie, parce que ces méthodes forment des systèmes de type entrée-sortie linéaires.

Une conséquence du principe de superposition est que :

«Si on sait décomposer une excitation en une somme de fonctions simples, il sera éventuellement possible de calculer la réponse correspondante en additionnant des réponses individuelles calculables explicitement.» (source)

En gravimétrie, les contrastes de densité dans le sol représentent l’excitation dont il est question dans la définition. La réponse correspondante est bien sûr la réponse gravimétrique qui résulte de la présence du contraste de densité. On peut donc traduire cette définition comme :

Si on sait décomposer un contraste de densité en une somme de modèles simples, il sera éventuellement possible de calculer la réponse gravimétrique en additionnant les réponses individuelles des modèles simples.

En gros, ça dit qu’il est possible de prédire la réponse gravimétrique de contrastes de densité qui pourraient avoir des géométries complexes à partir d’une combinaison de modèles simples (p. ex. des sphères, des cylindres, ou des prismes). C’est une conséquence importante pour l’interprétation gravimétrique : c’est ce qui permet aux géophysiciens de modéliser la réponse de modèles géologiques arbitraires. Sachez que le principe de superposition s’applique aussi aux notions de magnétométrie.

Dans cet exemple, on démontrera une application du principe de superposition à l’aide d’un modèle très simple : celui de la sphère.


Point de départ : modèle de la sphère

Soit une sphère de rayon $a = 100$ m qui offre un contraste de densité négatif (p. ex. une cavité) avec son milieu encaissant. La densité du milieu encaissant est $\rho = 2600$ kg/m$^3$. Le centre de la sphère se situe 200 m sous la surface du sol (Figure 1B). Pour simplifier le problème on suppose que la topographie est plate et on va utiliser la symétrie du problème pour l’illustrer en 2D.

Dans ce système de coordonnées, la réponse gravimétrique d’une sphère de rayon $a$ dont le centre est situé aux coordonnées $(x_0, z_0)$ et présentant un contraste de densité $\Delta\rho$ avec son milieu encaissant est donné par

\[\Delta g_z = \left( \frac{4}{3} \pi a^3 \right) G \Delta\rho \frac{z - z_0}{[(x - x_0)^2 + (z - z_0)^2]^{3/2}},\]

où $G = 6.67408\times10^{-11}$ m$^3$ kg$^{-1}$ s$^{-2}$ est la constante gravitationnelle.

L’équation (1) se traduit numériquement par :

G = 6.67408e-11  # m^3 kg^-1 s^-2

def gravite_sphere(x, z, x0, z0, a, rho):
    A = G * rho * (4/3) * np.pi * a**3
    B = (z - z0) / ((x - x0)**2 + (z - z0)**2)**(3/2)
    return A * B

La fonction dépend de $x$, $z$, $x_0$, $z_0$, $a$ et $\Delta\rho$. Il faut aussi définir les constantes pour le problème.

x = np.arange(-700, 700, 1)  # un vecteur représentant l'axe x
z = 0  # on a supposé que la topographie est plate donc le gravimètre est à z = 0
x0 = 0  # position de la sphère sur l'axe x
z0 = -200  # position de la sphère sur l'axe z
a = 100  # rayon
rho = -2600  # contraste de densité avec le milieu encaissant

La réponse gravimétrique de la sphère définie plus haut est donc :

gz = gravite_sphere(x, z, x0, z0, a, rho)

La réponse gravimétrique de la sphère contenue dans le vecteur gz est tracée à la Figure 1A.

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Figure 1. (A) Réponse gravimétrique d’une sphère située à $x=0$ m. (B) Section verticale du modèle de la sphère utilisé.


Exemple : corps adjacents

Refaisons l’exercice, mais cette fois avec deux corps sphériques adjacents : une cavité et un excès de masse. Les propriétés des deux sphères sont :

Cavité

  • $x_0 = -300$ m
  • $z_0 = -200$ m
  • $a = +50$ m
  • $\Delta\rho = -2600$ kg/m$^3$

Excès de masse

  • $x_0 = +300$ m
  • $z_0 = -200$ m
  • $a = +100$ m
  • $\Delta\rho = +1000$ kg/m$^3$

Calcul des contributions

On calcule la réponse des sphères individuelles ainsi. D’abord la contribution de la cavité :

x0_cv = -300  # position de la cavité sur l'axe x
z0_cv = -200  # position de la cavité  sur l'axe z
a_cv = 50  # rayon de la cavité 
rho_cv = -2600  # contraste de densité de la cavité 
# Accélération gravitationnelle de la cavité 
gz_cv = gravite_sphere(x, z, x0_cv, z0_cv, a_cv, rho_cv)

Puis la contribution de l’excès de masse :

x0_em = 300  # position de l'excès de masse sur l'axe x
z0_em = -200  # position de l'excès de masse sur l'axe z
a_em = 100  # rayon de l'excès de masse
rho_em = +1000  # contraste de densité de l'excès de masse
# Accélération gravitationnelle de l'excès de masse
gz_em = gravite_sphere(x, z, x0_em, z0_em, a_em, rho_em)

Et le signal total est simplement :

# Signal total
gz_total = gz_cv + gz_em

Le signal total (gz_total) est celui qu’on aurait mesuré à la surface le long d’un profil qui passe au-dessus des deux sphères. Celui-ci est tracé à la Figure 2B.

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Figure 2. (A) Réponses gravimétriques individuelles de la cavité (bleu) et de l’excès de masse (rouge). (B) Section verticale du modèle géologique utilisé.


Exemple : modèle en coquille

Différents corps peuvent être combinés pour former des géométries plus complexes. Dans cet exemple nous allons modéliser la réponse d’une coquille de forme sphérique avec une épaisse de 25 m en soustrayant la réponse de deux sphères dont les rayons sont 100 et 75 m (Figure 3B).

Pour construire le modèle en coquille, on va supposer qu’une première sphère de rayon $a_1=100$ m produit un excès de masse avec un contraste de densité $\rho_1 = 2600$ kg/m$^3$. Puis, on place une deuxième sphère (fictive!) de rayon $a_2=75$ m à l’intérieur de la première. Pour contrer l’excès de masse causé par la première sphère dans la région où la coquille ne doit pas présenter de contraste de densité, on assume que la deuxième sphère a un contraste de densité négatif $\rho_2= -2600$ kg/m$^3$.

⚠ Le contraste de densité de la sphère interne fictive est défini par rapport à son encaissant : la sphère externe! D’où le $\rho_2= -2600$ kg/m$^3$.

Calcul des contributions

On commence par entrer les paramètres pour la sphère externe :

x0_ext = 0  # position de la sphère externe sur l'axe x
z0_ext = -200  # position de la sphère externe sur l'axe z
a_ext = 100  # rayon de la sphère externe
rho_ext = 2600  # contraste de densité de la sphere externe
# Accélération gravitationnelle de la sphère externe
gz_ext = gravite_sphere(x, z, x0_ext, z0_ext, a_ext, rho_ext)

Et pour la sphère fictive interne :

x0_int = 0  # position de la sphère interne sur l'axe x
z0_int = -200  # position de la sphère interne sur l'axe z
a_int = 75  # rayon de la sphère interne
rho_int = -2600  # contraste de densité de la sphere interne
# Accélération gravitationnelle de la sphère interne
gz_int = gravite_sphere(x, z, x0_int, z0_int, a_int, rho_int)

Encore une fois le signal résultant est simplement la somme des contributions individuelles :

gz_coquille = gz_ext + gz_int

Le signal total (gz_coquille) est celui qu’on aurait mesuré à la surface le long d’un profil qui passe au-dessus de la coquille. Celui-ci est tracé à la Figure 3A.

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Figure 3. (A) Réponses gravimétriques individuelles la sphère externe (rouge) et de la sphère interne fictive (bleu). (B) Section verticale du modèle géologique utilisé.

Question

Quel contraste de densité est-ce qu’on devrait donner à la sphère interne si le milieu formé par la coquille était vide (0 kg/m$^3$)?


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