Devoir 8 - Aimantation
À rendre le 2024-03-18
Rappels
On a vu que la densité de flux magnétique ($\boldsymbol{B}$, en tesla) créée par un dipole s’écrit de la façon suivante :
\[\boldsymbol{B} = \frac{C_m}{r^3} \left[ 2m\cos\theta\ \boldsymbol{\hat{r}} + m\sin\theta\ \boldsymbol{\hat{\theta}} \right] ,\]où $C_m = \mu_0/4\pi$, $\mu_0$ est la perméabilité du vide et $m$ est l’amplitude du moment magnétique dipolaire. Les vecteurs $\boldsymbol{r}$ et $\boldsymbol{\theta}$ sont montrés sur la Figure 1.
On a aussi vu dans le Chapitre 1 que le lien entre le moment dipolaire ($\boldsymbol{m}$) et l’aimantation ($\boldsymbol{M}$) induite d’un matériau qui baigne dans un champ magnétique quelconque ($\boldsymbol{B}$, en tesla) est :
\[\begin{align} \boldsymbol{m} &= \sum_i \boldsymbol{m}_i \\ & = v\boldsymbol{M} \\ & = v \chi_m \boldsymbol{B}/\mu_0 \end{align}\]où $v$ est le volume du matériau et $\chi_m$ est sa susceptibilité magnétique.
1. Aimantation simple
Supposons qu’une tige de métal en forme de cylindre vertical et de volume $v$ est enfouie dans un sable non magnétique, tel que montré à la Figure 1. La tige est aimantable et caractérisée par une susceptibilité magnétique $\chi_m$, mais on suppose qu’elle ne possède pas d’aimantation rémanente (matériau paramagnétique). La tige baigne dans le champ magnétique de la Terre ($\boldsymbol{F}$, en tesla), qui est uniforme et pointe vers le bas à cet endroit.
Figure 1. Une tige paramagnétique enfouie dans un sable non-magnétique.
Question 1.1
Donnez l’équation du vecteur d’aimantantion dans la tige ($\boldsymbol{M}_1$) en fonction de $\chi_m$, $\mu_0$ et $F$. Puisque $\boldsymbol{M}_1$ est un vecteur, indiquez clairement sa direction et son amplitude en formulant votre réponse.
Question 1.2
Avec l’équation (1), établissez l’équation du champ magnétique dipolaire qui sera créé par la tige ($\boldsymbol{B}_1$) en fonction de $r$, partout le long de la ligne médiane de la tige (la ligne pointillée sur la Figure 1, où $\theta=90^{\circ}$). Votre réponse doit être écrite sous forme vectorielle, c’est-à-dire qu’elle doit inclure l’amplitude et la direction du champ.
2. Aimantation de deux tiges
Supposons maintenant qu’une deuxième tige avec les mêmes propriétés que la première est placée à une distance $L$ de celle-ci, tel que montré sur la Figure 2.
Figure 2. Deux tiges paramagnétiques adjacentes enfouies dans un sable non-magnétique.
Expliquez, dans vos propres mots et avec un schéma à l’appui, comment le champ secondaire généré par la première tige va interagir avec la deuxième, et vice-versa. Le champ $\boldsymbol{B}_1$ que vous avez trouvé à la Question 1.2 va forcément induire une nouvelle aimantation ($\boldsymbol{M}_2$) dans la deuxième tige. Discutez de l’importance de cette interaction en fonction de $L$, la distance entre les deux tiges.