Devoir 2 - Potentiel gravitationnel terrestre

À rendre le 2024-01-22

1. Théorème de Gauss (5 points)

Comme on l’a vu dans la Section 2.1.5, la densité de la Terre varie en fonction de la distance par rapport à son centre. Soit une sphère de rayon $R$ dont la densité volumique de masse varie en fonction de la distance à son centre ($r’$), telle que montrée à la Figure 1.

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Figure 1. Schéma d’une sphère dont la densité varie en fonction du rayon, comme la Terre.

Si on suppose que la densité de cette sphère varie linéairement du cœur vers la surface, ce qui n’est pas une mauvaise approximation pour la Terre, on peut écrire

\[\rho(r') = a - br' ,\]

où $a$ et $b$ sont des constantes.

Pour votre information, $a \approx 1.3\times 10^4$ kg/m$^3$, $b \approx 1.6\times 10^{-3}$ kg/m$^4$ et $R \approx 6.371\times 10^6$ m pour la Terre. N’entrez pas ces valeurs dans les équations, faites plutôt vos démarches en fonction de $a$ et $b$.

On vous demande de déterminer l’équation de l’accélération gravitationnelle ($\boldsymbol{g}$) pour n’importe quelle valeur de $r$, tant à l’intérieur qu’à l’extérieur de la sphère. $r$ est la distance entre l’origine et une surface de Gauss dont le vecteur est défini par $\boldsymbol{S} = S\ \boldsymbol{\hat{r}}$.

Indices :

Le théorème de Gauss dit que

\[\iint_S \boldsymbol{g}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{S} = -4\pi G \iiint_V \rho(r') \,\mathrm{d}V ,\]

où la partie de gauche correspond au flux du champ gravitationnel qui passe dans la sphère de Gauss et l’intégrale dans la partie de droite correspond à la masse incluse dans la surface de Gauss.

Dans notre système de coordonnées sphériques,

\[\mathrm{d}V = r'^2 \sin(\theta)\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}\phi\,\mathrm{d}r' .\]

Consignes pour obtenir tous les points.

Écrivez $\boldsymbol{g}$ dans sa forme vectorielle.
Votre réponse pour $r \lt R$ devrait dépendre de $a$, $b$ et $r$.
Votre réponse pour $r \gt R$ devrait dépendre de $a$, $b$ $R$ et $r$.
Vous devez vérifier que vos deux équations sont continues, c’est-à-dire qu’à $r = R$ les équations à l’intérieur et à l’extérieur de la sphère sont équivalentes.
Suivez le même raisonnement que celui qui est fait dans la Section 2.1.5.

2. Potentiel gravitationnel (3 points)

Déterminez l’équation du potentiel gravitationnel ($U$) pour toutes les valeurs de $r$ à partir des deux équations du champ gravitationnel trouvées à la Question 1.

Indices :

Le potentiel est donné par le travail fait pour amener une masse unitaire de l’infini ($\infty$) jusqu’à une distance $r$ le long du chemin $d\boldsymbol{r}$ dans le champ $\boldsymbol{g}$ :

\[U(r) = - \int_\infty^{r} \boldsymbol{g}(\boldsymbol{r'})\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{r'}.\]

Commencez par calculer le potentiel à l’extérieur de la sphère ($r\gt R$).

Le potentiel à l’intérieur de la sphère ($r \lt R)$ est le potentiel à $R$ plus le potentiel de $R$ à $r$:

\[U(r) = U_R - \int_R^{r} \boldsymbol{g}(\boldsymbol{r'})\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{r'} .\]

3. Équations de Laplace et de Poisson (2 points)

Montrez que le potentiel à l’extérieur de la sphère respecte l’équation de Laplace et que le potentiel à l’intérieur de la sphère respecte l’équation de Poisson, tel qu’on l’a vu en classe.

Indices :

L’équation de Laplace est

\[\nabla^2 U = 0\]

et l’équation de Poisson est

\[\nabla^2 U = 4\pi G \rho(r') .\]

L’opérateur laplacien en coordonnées sphériques est :

\[\nabla^2 U= \frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\left( r^2 \frac{\partial U}{\partial r} \right) + \frac{1}{r^2 \sin\theta}\frac{\partial}{\partial \theta}\left( \sin\theta \frac{\partial U}{\partial \theta} \right) + \frac{1}{r^2 \sin^2\theta}\frac{\partial^2 U}{\partial \phi^2} .\]

Notez qu’à cause de la symétrie sphérique, les deux termes à droite dans l’opérateur laplacien sont nuls, car le potentiel ne dépend pas de la colatitude ($\theta$) ni de l’azimuth ($\phi$).