Devoir 7 - Dérivées spatiales

À rendre le 2025-03-12

1. Dérivée verticale (4 points)

On sait que la réponse gravimétrique ($\Delta g_z$) d’une sphère de rayon $a$ qui fait un constraste de densité $\Delta \rho$ avec son milieu encaissant est

\[\Delta g_z(x, z) = G \Delta\rho \left( \frac{4\pi a^3}{3} \right) \frac{\Delta z}{(\Delta x^2 +\Delta z^2)^{3/2}} ,\]

où $G$ est la constante gravitationnelle, $\Delta x = x - x_0$ et $\Delta z = z - z_0$. Un modèle de sphère et sa réponse sont tracés à la Figure 1.

Question 1.1

Déterminez l’équation de la dérivée verticale du signal généré par la sphère. Vous pouvez la calculer analytiquement ou par approximation numérique. Placez le centre de la sphère à l’origine de votre système de coordonnées pour simplifier les calculs.

Question 1.2

Faites une esquisse de la dérivée verticale du signal en fonction de $x$ sur le graphique de la Figure 1A. Attention, le gradient d’un signal n’a pas les mêmes unités que le signal lui-même.

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Figure 1. (A) Anomalie de Bouguer d’une sphère. (B) Modèle pétrophysique d’une sphère qui offre un contraste de densité $\Delta\rho$ avec son milieu encaissant.

2. Dérivée horizontale (2 points)

La Figure 2 montre un profil gravimétrique obtenu sur le terrain. Faites une esquisse de la dérivée horizontale par rapport à $x$ de ce signal ($\partial\Delta g_z/\partial x$). Attention, le gradient d’un signal n’a pas les mêmes unités que le signal lui-même.

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Figure 2. Anomalie de Bouguer d’un profil gravimétrique mesuré sur le terrain.

3. Séparation régionale–résiduelle (4 points)

Reprenons l’exemple de la série de dykes mafiques dont il était question au Devoir 6. Le modèle pétrophysique et la réponse gravimétrique (l’anomalie de Bouguer) de ces dykes est tracée en gris à la Figure 3. La fréquence d’échantillonnage utilisée est de 0.4 m$^{-1}$.

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Figure 3. (A) Réponse gravimétrique d’un système de dykes mafiques. (B) Les dykes offrent un contraste de densité de +1000 kg/m$^3$ avec leur milieu encaissant.

Question 3.1

Expliquez dans vos propres mots à quoi correspond la courbe rouge tracée à la Figure 3A et comment celle-ci a été calculée.

Question 3.2

Expliquez dans vos propres mots à quoi correspond la courbe bleue tracée à la Figure 3A et comment celle-ci a été calculée.