Devoir 1 - Propriétés pétrophysiques
À rendre le 2024-01-15
1. Densité volumique de masse (4 points)
On a analysé la composition d’un échantillon de granite associé à un gisement d’or dans la région de l’Abitibi. Les résultats des analyses sont donnés dans le Tableau 1. L’échantillon a un volume d’environ 5 cm$^3$ alors que l’affleurement sur lequel il a été prélevé a une surface de plusieurs mètres carrés.
| Oxyde | Teneur (% volume) |
|---|---|
| SiO$_2$ | 73 |
| Al$_2$O$_3$ | 13 |
| K$_2$O | 4 |
| Na$_2$O | 4 |
| CaO | 2 |
| Fe$_2$O$_3$ | 2 |
| MgO | 1 |
| TiO$_2$ | 1 |
| Total | 100 |
Tableau 1. Composition géochimique de l’échantillon de granite.
A) Quelle est la densité volumique de masse de ce granite?
B) Est-ce que la densité que vous avez calculée tient compte de la porosité de l’échantillon?
C) Si, avant d’être détruit pour faire les analyses géochimiques, la porosité de l’échantillon était de 1%, est-ce que sa densité apparente était plus grande ou plus faible que sa densité squelettique?
D) Est-ce que le granite échantillonné offre un contraste de densité positif ou négatif par rapport à sa roche encaissante, si cette dernière est un basalte?
2. Échelle de mesure (3 points)
On a aussi procédé à des mesures de susceptibilité magnétique avec un appareil portatif à plusieurs endroits sur l’affleurement de granite. Ces données seront utiles pour mieux contraindre notre interprétation des cartes géophysiques dans la région.
On remarque toutefois que la susceptibilité magnétique de l’affleurement est très variable (Tableau 2).
| Mesure | Susceptibilité magnétique (SI) |
|---|---|
| 1 | $6.4\times 10^{-2}$ |
| 2 | $1.1\times 10^{-3}$ |
| 3 | $8.9\times 10^{-1}$ |
| 4 | $4.2\times 10^{+1}$ |
| 5 | $1.0\times 10^{-6}$ |
Tableau 2. Susceptibilité magnétique d’un granite. Chaque mesure a été réalisée à un endroit différent sur le même affleurement de granite.
A) Qu’est-ce qui pourrait expliquer la grande variabilité des mesures de susceptibilité magnétique?
B) Qu’est-ce que ça implique pour nos analyses géochimiques et la densité de l’échantillon décrit à la Question 1?
3. Propagation des incertitudes (3 points)
Compte tenu de la susceptibilité magnétique hétérogène observée sur l’affleurement, on décide d’y retourner pour recueillir plus d’échantillons et obtenir plusieurs mesures de densité. Comme les analyses géochimiques sont assez dispendieuses, on opte plutôt pour des mesures de densité avec la méthode en vrac. La densité est donnée par
\[\rho = m/V ,\]où $m$ est la masse de l’échantillon et $V$ est son volume. Pour un échantillon donné, $m=$ 260 g et $V=$ 100 cm$^3$.
Si l’incertitude sur la masse mesurée avec la balance est de 0.01 g, quelle devrait être l’incertitude maximale sur la mesure de $V$ si on souhaite obtenir une incertitude sur $\rho$ inférieure à 1 kg/m$^3$? Discutez.
Indice : La formule générale de propagation des incertitudes[1] pour une fonction $f$ de plusieurs variables ($x, y, z, \dots $) est :
\[\delta_f = \sqrt{\left(\frac{\partial f}{\partial x}\delta_x\right)^2 + \left(\frac{\partial f}{\partial y}\delta_y\right)^2 + \left(\frac{\partial f}{\partial z}\delta_z\right)^2 + \dots} ,\]où $\delta_f$ est l’incertitude sur la fonction et $\delta_x$, $\delta_y$ et $\delta_z$ sont les incertitudes respectives de $x$, $y$ et $z$.
Références
- Taylor, J. (1997). Introduction to error analysis, the study of uncertainties in physical measurements. University Science Books. 327 pages.