Devoir 5 - Principe de superposition

À rendre le 2024-02-12

Mise en contexte

On veut utiliser la méthode de gravimétrie pour caractériser un sill mafique. Le sill produit un contraste de densité $\Delta\rho$ avec son milieu encaissant. Le sill peut être paramétrisé comme une plaque mince de longueur $L$ et d’épaisseur $t$, tel que montré à la Figure 1.

Question

Utilisez le principe de superposition pour démontrer que la réponse gravimétrique du sill pour tout point $(x, z)$ est

\[\Delta g_z(x, z) = 2Gt\Delta\rho \left[ \arctan\left(\frac{L - \Delta x }{\Delta z}\right) + \arctan\left(\frac{\Delta x}{\Delta z}\right)\right],\]

où $ \Delta x = x - x_0$ et $\Delta z = z - z_0$.

$G$ est la constante gravitationnelle et $x_0$ et $z_0$ sont les coordonnées du centre du début de la plaque (cercle rouge sur la Figure 1) dans le système de coordonnée $(x, z)$.

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Figure 1. Un sill mafique qui crée un contraste de densité avec son milieu encaissant.

Indices

On s'intéresse seulement à l'accélération gravitationnelle le long du profil $x$.
On suppose que le sill s'étend infiniment dans la direction $y$.
La topographie est plate et le gravimètre est placé sur la surface du sol.
Cette identité trigonométrique pourrait être utile : $\arctan{(-x)} = -\arctan{(x)}$.